Transport Optimal

Bonjour,

On dit que qu'une fonction $T:\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^n$ transporte une mesure de probabilité sur $\mathbb{R}^n$, $\mu$, sur une autre mesure de probabilité sur $\mathbb{R}^n$, $\nu$, si pour toute fonction borélienne $b:\mathbb{R}^n\longrightarrow [0,\infty)$ on a $$
\int_{\mathbb{R}^n} b(y)d\nu(y)= \int_{\mathbb{R}^n}b\big(T(x)\big)d\mu(x).
$$ Un théorème de transport optimal dit si $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures de probabilité sur $\mathbb{R}^n$, et que $\mu$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue alors il existe une fonction $\psi$ telle que $T=\nabla \psi$ transporte $\mu$ sur $\nu$.
J'ai une fonction $f$ à support compact, une fonction $\phi$, convexe, et une fonction $g$ positive 1-homogene.
Je veux utiliser le théorème pour montrer qu'il existe une fonction $\psi$ telle que $\nabla \psi$ transporte $\mu(x)=A^{-1}\phi\big(g(\nabla f(x)\big)dx$ sur $\nu(y)= vol(B)^{-1}\chi_{B}(y)$, avec $A=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi\big(g(\nabla f(x)\big)dx=A$.
Qu'en pensez-vous ?