Mesure de Rn à la sphère

Que désigne $f$ dans ton problème ? Il faut aussi détailler ce que sont $\phi$ et $\psi$.

à support borné (ou compact) tu veux dire ? Et le jacobien de quelle fonction ?

Et même si tu veux garder encore le jacobien, appelons ce jacobien $B$, alors, on prend $\mu$ comme plus haut, et $\psi_f = \frac{A}{B}$, là encore tu as l'égalité trivialement.

$S^2$ c'est $S^{n-1}$, $\phi_f = \frac{A}{jacobien}$, où $A$ est l'intégrale de droite dans ton premier post. $\mu$ est la mesure de surface normalisée, sur la sphère.

Il faut préciser ce qui est fixé et ce qui est libre. Tu veux pour un $f$ fixé trouver un $\mu_f$ tel que pour tout $\phi$ et $g$ la formule soit valable ? Ou alors tu veux que pour un $f$ et $\phi$ fixés trouver un $\mu_f$ tel que pour tout $g$ la formule soit valable ?

En tout cas tel que c'est écrit il y a des petits problèmes à régler, par exemple si $f$ est une fonction constante, alors $\nabla f =0$, donc ton intégrale à droite est égale à : $\int_{\R^n} \phi(g(0))dx = \phi(g(0))\int_{\R^n} dx$ qui est divergente sauf si $\phi(g(0)) = 0$, ça pose un problème parce que comme la sphère est compacte, le terme de droite est toujours fini pour des fonctions continues, donc tu ne peux pas avoir égalité en général. Il faut que tu modifies un peu ton problème de nouveau.

A terme, si tu as un problème bien posé, le mieux sera (si tu veux prouver l'existence d'une mesure $\mu_f$) d'utiliser le théorème de Riesz sur les formes linéaires sur l'espace des fonctions continues sur un compact. Si tu arrives à écrire ton intégrale de gauche comme une application linéaire en $\phi$, une condition nécessaire et suffisante pour l'existence de mesure sur $S^{n-1}$ vérifiant ce type d'égalité c'est d'avoir la continuité de l'intégrale à gauche par rapport à la norme uniforme sur $S^{n-1}$. Et dans ce cas il faudra prolonger de manière "canonique" tes fonctions de $S^{n-1}$ à $\R^n$ (par exemple en les supposant homogènes ... ).

Là encore il faudra que ta fonction convexe soit nulle là où il faut : par exemple si $g = 0$, le terme de droite est fini alors que le terme à gauche est infini.

@Kito : comme $g$ est $1$-homogène, tu peux écrire $\phi(g(\nabla f(x)))=\phi(\|\nabla f(x)\|g(\nabla f(x)/\|\nabla f(x)\|))$ où ce qui est en argument dans $g$ est sur la sphère (en supposant que $\nabla f$ ne s'annule pas). Il n'y pas d'espoir que son intégrale sur $\R^n$ arrive à faire disparaître le terme $\|\nabla f(x)\|$ qui est à l'intérieur de $\phi$.