$\sqrt 2$, une solution ou pas ?
Bonjour
Il y a quelque temps, j'ai lu sur un site que:
Que pensez-vous ?
Il y a quelque temps, j'ai lu sur un site que:
puisqu'on ne peut pas écrire toutes les décimales de $\sqrt 2$ alors $\sqrt 2$ n'est pas une solution de l'équation : $x^2=2$
Que pensez-vous ?
Réponses
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Bonjour,
J'en déduis beaucoup de choses... mais pour rester constructif : quelle est la définition de $x$ ? c'est une variable dans quel ensemble ? -
Bonjour,kadmathnet a écrit:puisqu'on ne peut pas écrire toutes les décimales de sqrt(2)
Et puis, peut-être que ça dépend de la base choisie.kadmathnet a écrit:alors sqrt(2) n'est pas une solution de l'équation :x^2=2
Avec le même "raisonnement", $\dfrac{1}{3}$ n'est pas solution de l'équation $3x=1$ ?
Cordialement,
Rescassol
PS: A envoyer en Shtam. -
J'en déduis beaucoup de choses... mais pour rester constructif : quelle est la définition de x ? c'est une variable dans quel ensemble ?
x réel donc dans IRAvec le même "raisonnement", 1/3 nest pas solution de l'équation 3x=1
Pour l'auteur oui 1/3 est une solution de 3x=1 car 1/3=0,3... périodique
Pour lui les solutions périodiques oui sont des solutions.
Par contre les irrationnels ne sont pas des solutions car on ne peut pas écrire toutes les décimales.
De mémoire, l'auteur s'inquiète que les mathématiciens n'ont pas résolu ce problème et dans tous les cas c'est insoluble
Dommage que j'ai oublié le nom du site. D'ailleurs je l'ai trouvé dans ce forum.
L'auteur fais des dessins assez "magiques" avec les tables de multiplications modulo un certains nombre de tours ou quelques chose comme ça. -
Si racine carré de deux n'est pas solution de x carré égale deux, c'est qui? Comment la définir?
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Pis une autre question: en vertu de quel principe, théorème ou règle d'inference, peut on déduire de "on ne peut pas écrire toutes ses décimales" que "ce n'est pas une solution"?
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Bon, allez, cette équation n'a pas de solution entière, ni décimale, ni rationnelle.
Remarque : "on ne peut pas écrire toutes les décimales" est une idée vague (mais parlante dans certains cas).
Par exemple, un nombre peut être décimal sans que l'on puisse écrire toutes ses décimales.
2^1000000000 par exemple.
Certains pinailleront et diront même que l'on ne peut pas écrire toutes les décimales de ..... 0. -
Bonjour.
Il serait bon que tu donnes le contexte complet de cette citation (par exemple le site). Mais à priori, parler de $\sqrt 2$ veut dire qu'on considère un nombre dont le carré est 2, donc une solution de $x^2=2$. Donc partir d'une solution pour dire qu'elle n'est pas solution est une incohérence de celui qui écrit.
Mais on trouve de tout sur Internet, y compris des délires ou des âneries caractérisées.
Cordialement. -
En ce qui concerne la détermination des décimales de $\sqrt{2}$.
La suite $(x_n)$ définie par:
$x_0=1$ et $x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{2}{x_n}\right)$
est connue pour converger vers $\sqrt{2}$ ce qui veut dire que lorsque $n$ augmente, de plus en plus de (premières) décimales de $x_n$ vont coïncider avec celles de $\sqrt{2}$.
(on peut rendre plus précise cette dernière assertion me semble-t-il)
PS:
Si on veut se convaincre, sachant que cette suite converge, que la limite est bien $\sqrt{2}$ on se rappelle que la limite $L$ de cette suite vérifie:
$L=\dfrac{1}{2}\left(L+\dfrac{2}{L}\right)$
et on peut vérifier que cette équation n'a, en effet, qu'une seule solution positive, $\sqrt{2}$
PS2:
Pour plus d'informations voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_HéronLe passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
bonjour
micmaths dit la même chose sur sa chaine youtube:
https://www.youtube.com/watch?v=c4X_8cufW3g
Il dit que par définition $\sqrt{2}$ est un nombre dont le carré vaut 2. Avec cette façon de faire on pourrait résoudre n'importe quelle équation en définissant une notation pour désigner les racines. -
Oui.
La théorie résoudrait donc n'importe quelle équation.
Ensuite, on démontre des propiétés sur les solutions.
Par exemple, avec les radicaux, on démontre que $\sqrt21$ est le même nombre que $\sqrt3$ $\times$ $\sqrt7$.
Etc. -
Joel_5632,
quel est le problème ? C'est bien une partie de la définition de $\sqrt 2$, non ? Quant à donner une notation pour définir les racines, n'est-ce pas ce qu'on fait en algèbre ?
D'ailleurs, x²+1 n'ayant pas de racine réelle, on définit bien les complexes pour que x²+1 ait deux racines :-).
Cordialement. -
Bonsoir,
pourriez-vous me rappeler qui a dit que définition et existence ne font qu'un ?
S -
Le contexte algébrique est celui des extensions de corps. C'est à mon avis assez crucial de réfléchir à ce que sont les nombres (conceptions de l'esprit ou des choses que l'on retrouve dans la nature) !
-
Je la trouve un peu gloubi boulga cette vidéo de micmaths. Avec ce raisonnement, "il suffit d'inventer une notation" pour les $x$ qui vérifient $x^2=-1$ et "c'est très facile de résoudre l'équation de cette manière". Ben non, inventer la notation $\sqrt{-1}$ ça ne suffit pas.
Après il raconte que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre, mais un calcul.
Cela me semble être une vidéo de confusion....
Bien qu'il y ait là-dedans des questions philosophiques à la Wiitgenstein : ça me rappelle cet article où l'on discute par exemple de la différence entre $1+2$ et $3$.
Mais dans ce cadre youtubesque, cela me semble être néanmoins une vidéo de confusion.... -
Ppffff micmaths le confusionniste !
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Bon cette vidéo critique la conception qui règne parmi les mathématiciens sur le symbolisme. Il y a là dedans de l'épistémologie de comptoir, du jeux sur les définitions, notamment celle des "nombres", et des exemples truqués.
Il est vrai que les équations du second degré sont résolubles par radicaux ; mais il ne faut pas se laisser éblouir sans préciser qu'il existe des équations non résolubles de cette façon ! Pourquoi n'aborde-t-il pas la mesure de la diagonale du carré ou du rapport entre le côté du pentagone régulier et celui du pentagramme également régulier ?
Finalement, tout ceci participe à l'obscurantisme croissant en critiquant les spécialistes sur des points mineurs qui ne sont paradoxaux que si l'on néglige toute l'histoire du concept.
Bruno -
Il serait bon que tu donnes le contexte complet de cette citation (par exemple le site).
Je l'ai dit, il fait des dessins "magiques" avec la multiplication modulo un certains nombre de tours sur le cercle etc... -
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"racine carrée de 2 n'est pas un nombre c'est un calcul"
Pitoyable ! 8-)
(cf à la fin de vidéo déjà citée:)
Je suis curieux de savoir comment ce type arrive à voir les décimales de $\dfrac{1}{5800079}$ qui est pourtant un nombre rationnel. B-)
$p=5800079$ est un nombre premier et $p-1=2\times 2900039$, ce dernier nombre est premier.
$d$, la plus petite période du développement décimal de $\dfrac{1}{p}$ avec $p$ premier, divise $p-1$
On peut vérifier facilement par calcul, que ni $1$, ni $2$ ne sont la plus petite période du développement décimal de $\dfrac{1}{5800079}$.
Ce qui signifie que la plus petite période est $2900039$.
$2900039$ chiffres se succèdent de gauche à droite dans le développement décimal de $\dfrac{1}{5800079}$ avant qu'on reparte sur la même succession de chiffres. :-D
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
PS:
J'ai obtenu le nombre $p=5800079$ en faisant prime(400000) dans PARI GP. Ce serait donc le 400 000 ème nombre premier et il a une propriété remarquable qui me sert bien ici: $p=2q+1$ où $q$ est un nombre premier.
PS2:
"racine carrée de 2 n'est pas un nombre c'est un calcul"
Cette incapacité conceptuelle est surement très répandue parmi les élèves.
Là ou un mathématicien est capable de voir qu'un symbole dans $\sqrt{2}$ (comme une sorte de hiéroglyphe, d'idéogramme) d'autres personnes en voient toujours $2$:
$\sqrt{}$ et $2$. :-DLe passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
On pourrait aussi dire que $3.2$ est un calcul : c'est $3 + 2/10$.
On peut débattre sur la signification de ce que désigne "$1+2$" : est-ce un nombre ou une addition ? C'est un peu le sujet de pdf que j'ai linké plus haut. Ce qui est plus de la philo que des maths, et ce n'est pas très intéressant pour une vidéo youtube grand public.
Peut-être micmaths dirait-il que la mesure de la diagonale d'un carré de côté $1$ n'est pas $\sqrt{2}$ mais le résultat du "calcul" $\sqrt{2}$ ?
Si ce n'était que ça, ce ne serait pas grave, ce qui est plus inquiétant c'est qu'il semble dire que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre parce qu'on ne peut pas donner une description simple de son écriture décimale.
À 00:45, il dit pourtant que "la racine carrée d'un nombre c'est une quantité positive dont blablabla". Une quantité positive n'est pas un nombre ?
Vous avez vu l'autre vidéo que j'ai linkée ? Il commence par démontrer que $1-1+1-1+1-1+\ldots = \frac{1}{2}$ et poursuit avec d'autres délires sur des séries divergentes. -
En fait dans les théories de maths sous leur forme dépouillée intégriste (comme l'arithmétique de Péano) il n'y a strictement rien pour écrire les maths normalement (dans le "vrai' PA il n'y a même pas de chiffres et $0$ est le seul nombre explicite!!). D'où des règles pour étendre le langage employé : cf par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_conservatriceUne fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Saturne a écrit:Vous avez vu l'autre vidéo que j'ai linkée ?
Je crois qu'elle avait déjà été commentée ici dans le passé.
formellement, l'expression $1+2+3+4+...$ peut s'écrire $\dfrac{1}{1^{-1}}+\dfrac{1}{2^{-1}}+\dfrac{1}{3^{-1}}+\dfrac{1}{4^{-1}}+...$ et toujours formellement cette dernière expression est $\zeta(-1)$ et on peut montrer que $\zeta(-1)=-\dfrac{1}{12}$
Je me demandais si avec des calculs sur des séries qui ne convergent pas, tels que ceux faits par ce type, on ne pouvait pas "montrer" que $0=1$. :-D
Mieux, est ce qu'on ne pourrait pas montrer que $1+2+3+....$ est "égal" à autre chose que $-\dfrac{1}{12}$ ?
PS:
Cette vidéo aurait pu être intéressante si ce type ne visait pas à faire seulement du sensationnalisme au point de faire passer n'importe quel tour de prestidigitation pour des mathématiques (il ne signale à aucun moment qu'il se livre à un numéro de (mathé)magicien quand il commence à manipuler des séries non convergentes).
A la fin quand il parle de la fonction $\zeta$ c'est encore pire (même s'il est vrai que le sujet, le prolongement holomorphe à $\mathbb{C}-\{1\}$ de la fonction de $s$ définie sur $\{s\in \mathbb{C}, \Re(s)>1\}$ par $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^s}$ n'est pas si évident à expliquer).Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Je me demandais si avec des calculs sur des séries qui ne convergent pas, tels que ceux faits par ce type, on ne pouvait pas "montrer" que 0=1
On peut aussi dire que $S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+... = 0$. -
Et on peut écrire:\et tu obtiens ton $S = 1$ :-D.
Bruno -
Merci :-)Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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C'est moins mathémagique de poser pour $x$ réel (complexe) différent de $1$:
$1^x+2^x+3^x+....:=\zeta(x)$
Mais quelle est l'utilité puisqu'on ne peut pas regrouper des termes en effectuant les additions sans changer la valeur du tout? :-DLe passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Ces "sommations" remontent au siècle des Lumières, quand Leibniz et Bernoulli, puis Euler, d'Alembert et autres discutaient des modalités de calcul des sommes de séries. Les conditions dont tu parles n'étaient pas encore établies et ces messieurs discutaient à coup d'arguments, de contre arguments. Il suffit de lire l'étude préliminaire que fait Euler à propos de la controverse entre Leibniz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs.
Bruno -
Exact, j'avais lu des trucs là-dessus dans des publications de.... je ne sais plus, peut-être l'APMEP (c'étaient des petits livrets avec une couverture brune-jaunâtre (je suis un peu daltonien ^^)). D'ailleurs je crois que c'est dans un de ces livrets que j'avais vu le coup de $S= (1-1)+(1-1)+\ldots =0$ et d'autres tours de passe-passe qui donnent $S=1$ ou $S=1/2$. J'y ai aussi lu des débats historiques sur le log d'un nombre négatif. Il ne faut pas se moquer de ces "délires", historiquement ce sont des difficultés très sérieuses, et c'est très intéressant. Mais cela n'excuse pas micshtam.
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N'empêche, ça m'a toujours fasciné de pouvoir "trouver" des résultats justes en écrivant des raisinnements qui n'ont pas de sens. Exemple: dans un anneau, on suppose que 1-ab est inversible, montrer que 1-ba l'est aussi. On peut passer des heures à tâtonner, ou bien écrire en planquette $"(1-ba)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(ba)^k"$, bidouiller un peu et trouver la bonne solution. Est-ce qu'il y a une théorie générale là-derrière, ou bien est-ce seulement une belle pépite?
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Un peu de lecture sur les séries divergentes : http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups91.pdf
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Merci pour ce lien Philippe.
J'ai trouvé un autre truc à ce propos :Je me demandais si avec des calculs sur des séries qui ne convergent pas, tels que ceux faits par ce type, on ne pouvait pas "montrer" que 0=1
Très facile. Soit $S=1+1+1+\ldots$. Alors, évidemment :
$$S= 1+(1+1+\ldots) = 1+S.$$
D'où $0=1$, en retirant $S$ à chaque côté.
On peut aussi déterminer la valeur de $S$. Soit $A = 1+2+3+4+\ldots$. On a :
$$A-1 = 2+3+4+\ldots = A + (1+1+1+\ldots) = A+S.$$
D'où $S=-1$, en retirant $A$ à chaque côté.
Ainsi,
$$ -1 = 1+1+1+\ldots.$$
En ajoutant $1$ à chaque côté, on obtient $0 = S$. Finalement $0=-1$. -
En réordonnant les termes on peut aussi faire converger n'importe quelle série semi-convergente vers n'importe qui (ou quoi).
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Shah d'Ock, je ne comprends pas ton intervention car la série de Saturne (et autres) n'est pas semi-convergente.
Bruno -
@shah pour ton avant dernière question: oui c'est facile avec l'axiome du choix alors que les calculs demandent inspiration (AC : passer par idéaux maximaux)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bruno: en effet mais il a été parlé de "montrer" que 0=1 avec des séries divergentes.
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A propos de $S = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$, et $S' = 1+ 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots$, il y a quand même une vraie théorie derrière (cf lien donné par Philippe Malot).
On considère l'espace vectoriel $E := \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, et le sous-espace $F$ formé par les suites $u \in E$ telles que $\sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$ soit convergente. On note $\phi$ la forme linéaire sur $F$ qui à une suite $u$ associe la somme de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$. On pose, pour $u \in E$, $Su := (u_{n+1})_{n \in \mathbb{N}}$. Pour $u \in F$, on a, bien sûr, $\phi(Su) + u_0 = \phi(u)$.
Eh bien, micmaths ne fait que montrer que si on considère un sur-sous-espace $F \leq F' \leq E$, et un prolongement $\psi$ de $\phi$ à $F'$ qui vérifie, lui aussi $\forall u \in F'$, $\psi(Su) + u_0 = \psi(u)$, alors, si $u := (1,-1,1,-1,1,-1,\cdots) \in F'$, nécessairement $\psi(u) = \frac{1}{2}$, et si $v := (1,2,3,4,5,\cdots) \in F'$, nécessairement $\psi(v) = - \frac{1}{12}$.
Ensuite, le "fait" que $S = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = 1 + S$ prouve qu'il n'existe pas de tel prolongement à $E$ tout entier.
Et enfin, le "fait" que $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 1 - ((1 - 1) + (1 - 1) + \cdots)$ montre que si on impose à $\psi$ une propriété de "stabilité par sommation par paquets", on restreint beaucoup le choix de $F'$ !
On peut trouver ça intéressant ou pas, mais c'est pas de la mathémagie...
Quand à $\sqrt 2$, c'est pas tout à fait idiot ce qu'il raconte... C'est quand même un pas conceptuel assez fort que d'élargir la qualité de nombre (qui est, d'abord, une qualité des éléments de $\mathbb{N}$) aux éléments de $\mathbb{Z}$, puis de $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$, non ?
Bref, moi je considère que micmaths ne s'exprime pas dans le langage mathématique, et que du coup, ce qu'il raconte n'est ni vrai ni faux ! Et quand on traduit ce qu'il dit (ou ce qu'on veut lui faire dire, je vous l'accorde) dans le langage mathématique, ça parle de trucs intéressants.
Après, si tout ceci conduit son public à affirmer qu'une série trivialement divergente est convergente, ce serait dommage, mais je pense que c'est un autre débat.
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