Calcul de combinaison

Bonjour,

Je suis nouveau ici et j'ai un petit problème de stat'...
Je cherche à calculer l'ensemble des combinaisons pour que la somme de 5 entiers compris entre 0 et 100 soit égal à 100, avec possibilité de répétition.

Pour remettre mon problème en contexte, j'ai une surface de métal composée de fer plus ou moins allié à du carbone (plus ou moins aciéré). J'ai défini 5 intervalles de carburation (1 : entre 0,02 et 0,1% de carbone, 2 : entre 0,1 et 0,3% de C, 3 : entre 0,3 et 0,5% de C, 4 : entre 0,5 et 0,7% de C et 5 : entre 0,7 et 0,9% de C).
Les valeurs allouées à ces intervalles représentent la proportion de la surface totale que cet intervalle occupe sur la totalité de la surface.

J'espère être clair!!

Merci d'avance

Réponses

  • Salut,

    Si je comprend bien, tu as une équation de la forme
    $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 100$$
    avec $x_i \in \mathbb{N}$ pour $i \in \{1, \ldots, 5\}$.
    Si c'est ça, il faut que tu utilises les combinaisons avec répétitions

    Par contre, s'il y a des combinaisons sur les $x_i$ (par exemple $2 \leq x_1 \leq 10$), la réponse sera différente.
  • Merci Zeta(-1) pour ta réponse,

    En revanche, je ne vois pas comment appliquer les combinaisons avec répétitions pour un ensemble de valeurs dont la somme est constante et uniquement constante...
  • bonjour

    Non, tu n'es pas clair du tout Slystring.

    S'agit-il de trouver le nombre de solutions de l'équation écrite par Zeta(-1) ?

    Si oui, il y en a $\Gamma_5^{100} = 4598126$
  • Oula, désolé je pensais à autre chose en écrivant ma première réponse.
    Je ne voulais pas dire s'il y a des combinaisons sur les $x_i$, mais s'il y a des conditions sur les $x_i$.

    Je ne suis pas sûr d'avoir bien saisi ton problème non plus.

    Résoudre une équation de la forme $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 100$ est un problème classique de dénombrement. Par exemple:
    vPNHAax.jpg

    Par contre, imposer que $2 \leq x_1 \leq 10$, $3 \leq x_2 \leq 20$, etc. nécessite de travailler un peu plus. Un exemple simple:
    fd4KorK.jpg

    Je pose cette question, car dans ta première question tu demandes combien de solutions entière possède l'équation $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 100$, et ensuite tu sembles expliquer que certaines quantités sont dans des intervalles bien précis
  • Merci pour vos réponses à ma question pas si claire!!

    Les intervalles sont des domaines de carburation représentés par des pourcentages... Il n'y a donc pas d'intervalles dans les valeurs de ce calcul.
  • Salut,

    alors s'il n'y aucune conditions sur les $x_i$, on peut procéder comme dans la première image de mon poste précédent, et on obtient la réponse donnée par joel_5632.

    Le nombre de solutions entières d'une équation de la forme
    $$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = \alpha \quad (\alpha \in \mathbb{N})$$
    est $\binom{\alpha + n - 1}{\alpha}$. En appliquant cette formule à ton problème, on obtient
    $$\binom{100 + 5 - 1}{100} = \binom{104}{100} = 4598126$$
    possibilités.
  • Merci beaucoup c'est limpide!!
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