Tirage avec remise

Bonjour,

Je voudrais vérifier auprès de vous la solution que je trouve à un problème de probabilités.

On dispose d'une urne contenant $N$ boules : $n$ boules blanches et $N-n$ boules noires.
On effectue dans cette urne des tirages avec remise.
On désigne par $X$ le nombre de tirages nécessaires pour obtenir les $n$ boules blanches et on cherche la loi de $X$.

On trouve que $X(\Omega)=[n,+\infty[ \cap \mathbb{N}$.

Plutôt que de chercher directement la loi de $X$, j'ai essayé de calculer $P(X \geq k)$.

Il me semble que $P(X \geq k) = \frac{\begin{pmatrix} k \\ n \end{pmatrix}}{N^{k}}$. En effet, Il y a $N^{k}$ tirages possibles et $\begin{pmatrix} k \\ n \end{pmatrix}$ tirages favorables, correspondants à mes façons de placer mes $n$ boules blanches parmi les $k$ boules tirées.

Mon raisonnement est-il correct ?

Merci par avance pour vos réponses,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • Bonjour.

    N'est-ce pas plutôt $P(X\le k)$ que tu calcules ?

    Cordialement..
  • S'il s'agit de tirages avec remise, que signifie "obtenir $n$ boules blanches" ? Les boules blanches ont toutes été remises dans l'urne, non ?
  • Bien vu !

    S'il s'agit d'avoir eu les n boules blanches, il va falloir les numéroter pour les distinguer, et alors plus de coefficient $\begin{pmatrix} k \\ n \end{pmatrix}$.
  • Bonsoir à gerard0 et à blaise,

    Effectivement, je suis obligé de les numéroter pour pouvoir les distinguer... Mais alors : mon raisonnement de départ devient faux ?

    $\alpha$-Nico
  • J'ai bien réfléchi ! Grâce à votre aide, je dirais que :
    $$ P(X \leq k) = \frac{\begin{pmatrix} k \\ n \end{pmatrix} \times n!}{N^{k}} $$
    ** Je choisis les moments où je vais tirer mes boules blanches : $\begin{pmatrix} k \\ n \end{pmatrix}$
    ** Je répartis mes $n$ boules blanches parmi ces emplacements : $n!$

    Est-ce c'est correct désormais ?
  • Il faut aussi placer les $k-n$ boules restantes, non ? A mon avis il manque un facteur $(N-n)\times...\times(N-k+1)$ avec $(k-n)$ termes.
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