étude de convergence d’intégrale

dans Analyse
Bonjour
Je suis en train de réaliser des exercices d'intégration et je dois étudier la convergence de l’intégrale suivante. $$ \int_{-\infty}^{+\infty} t e^{-|t|} \, \mathrm{d}t $$ J'ai tenté de faire une majoration de la fonction mais je n'arrive pas à montrer si elle converge ou diverge.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance pour votre aide.
Je suis en train de réaliser des exercices d'intégration et je dois étudier la convergence de l’intégrale suivante. $$ \int_{-\infty}^{+\infty} t e^{-|t|} \, \mathrm{d}t $$ J'ai tenté de faire une majoration de la fonction mais je n'arrive pas à montrer si elle converge ou diverge.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
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Bonjour,
On peut rapidement et facilement comparer la fonction à intégrer avec \(1/t^2\). -
Comment peut on faire apparaître \(1/t^2\) ?
En tout cas merci pour ton aide gb -
Pour comparer \(f(t)\) à \(1/t^2\), on étudie \(t^2f(t)\)…
Pour que la soupe soit salée, on ajoute du sel dans l'eau de cuisson ; pour faire apparaître \(1/t^2\), on ajoute \(t^2\) dans le terme que l'on étudie. -
Salut,
En restant au niveau heuristique et sans formaliser ma pensée, on se place sur l'intervalle [0,+infty[, la limite de ton intégrande en l'infini est facile à déterminer, cela te donne 0. il existe donc un réel >0, désignons le par A tel que pour tout t>A, ton intégrande va être =<1...Ensuite, je rejoins gb, c'est la même idée, il faut se ramener à une intégrale de Riemann classique pour conclure.
Cordialement -
pouvez vous me dire si mon raisonnement est correcte :
On sait que $ t^3e^{-\mid(t)\mid}\ $ tend vers 0 quand t tend vers $+\infty $ car l'exponentielle l'emporte sur les puissances de t
donc il existe un réel A non nul telle que pour tout t > A on a $ t^3e^{-\mid(t)\mid}\ \leq 1 $
D'où $ te^{-\mid(t)\mid}\ \leq 1/t² $
Or $ \int_{0}^{1} 1/t² \mathrm{d}t $ diverge donc l'integrale de départ diverge.
Merci d'avance
Et merci a gb et clothoide pour votre aide -
Je n'ai pas le temps d'approfondir ton raisonnement avec toi, mais y-a des choses qui ne vont pas dans ta rédaction : comment fais-tu pour passer d'une inégalité valable sur [A,+infty[ à une conclusion sur le comportement de ton intégrale sur [0,1]?.. Au fait que vaut ton expression pour t=0 et t=1?
je ne suis pas certain que la découpe de ton intégrale sur [0.1] soit nécessaire (à confirmer, je suis un peu rouillé).
A+ -
lovepapillon a écrit:il existe un réel A non nul telle que pour tout t > A […]
Or $ \int_{0}^{1} 1/t² \mathrm{d}t $ diverge
donc l'integrale de départ diverge.
Sur quel système logique peut-on s'appuyer pour soutenir un tel raisonnement ? -
j'avoue que ce que j'avais fait me semblé correct.
Je suis un peu perdu et j'ai vraiment beaucoup de mal avec cette partie de cour.
Du coup, si mon raisonnement est faux, je ne vois pas comment faire malheureusement -
Personne pour me secourir ? Svp
J'ai un exam la dessus dans une semaine et j'aimerai comprendre ... -
Bonjour.
Pour ton examen, il te faudra comprendre le cours, pas seulement cet exercice ! Donc travaille le cours.
Sinon, pour ton intégrale, où se passent les difficultés ? A l'infini, n'est-ce pas, donc ton problème est de voir s'il y a convergence à l'infini. Dans un premier temps, on peut couper en deux, à 0 ce sera plus simple ensuite, puis justifier que l'intégrale de 0 à +oo converge. On en déduira que l'autre aussi converge par parité (tu as bien entendu vu que la fonction est impaire.
Maintenant, tant que tu n'as pas appris tes leçons,il est inutile que je continue. Tu regardes dans ton cours comment montrer qu'une intégrale converge, par comparaison de fonctions.
A noter : le fait que l'intégrale de $\frac 1{x^2}$ sur $[0,+\infty[$ diverge n'a aucun intérêt ici, la divergence est en 0. Évite de copier sans réfléchir !!
Cordialement.
NB : une semaine pour apprendre le cours, c'est bien juste. Commence tout de suite. -
Bonsoir
La comparaison avec une intégrale de Riemann ici n'est pas nécessaire.
On peut remarquer que la fonction à intégrer est impaire, il suffit de prouver la convergence sur l'intervalle $[0 ; +\infty]$.
Une simple intégration par parties indique que : $\int_0^{+\infty}t.e^{-t}dt$ converge et qu'elle est égale à 1
et donc $\int_{-\infty}^{+\infty}t.e^{-|t|}dt$ converge et elle est égale à 0.
Cordialement -
Bonjour @jean lismonde,
Tu ne peux pas justifier l'existence d'une intégrale en la calculant... comme tu sais très bien.
Donc il te faut démontrer l'existence avant d'intégrer par partie. Ou alors, tu calcules par partie une autre intégrale, en remplaçant la borne infinie par un réel $A$ que tu fais tendre vers l'infini après intégration par partie - mais il te faut l'écrire explicitement.
Sinon, c'est zéro à l'exercice. Mais peut-être préfères-tu être évalué sur les compétences comme "utiliser les notions de la logique élémentaire pour bâtir un raisonnement" ?
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Bonjour!
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