Formes linéaires et topologies

La questions est de savoir si tes normes $D$ et $d$ son equivalente a $p_i(f-g)=\displaystyle\sup_{K_i}|f-g|$.

La réponse est non. Quand on sait ce qu'est un ultrafiltre (je n'ai pas d'idée plus simple pour l'instant ) on peut faire la construction Suivante: Soit $\Omega$ un ultrafiltre de $X$ contenant tous les ensembles de la forme $X \backslash K$ où $K$ est compact contenu dans $X$. Si $f$ est bornée (donc à valeurs dans un compact de $\mathbb \R $) il existe une limite $\lambda(f)$ de $(f(T))_{T \in \Omega}$. Alors $\lambda$ est une forme linéaire croissante (si $f \leq g$ clairement $\lambda(f) \leq \lambda (g)$). Cela entraîne que $\lambda$ est $C^0$ pour la norme infinie. De plus si $K \subseteq X$ est compact considérons $f_K$ nulle sur $K$ et telle qu'il existe $L \subseteq X$ compact tel que $K \subseteq \overset{\circ}L$ et $f_K(x)=1$ pour tout $x \in L$ (de tels $L,f_K$ existent toujours; cf Urysohn pour les espaces localements compacts). Comme $f_K$ et la fonction constante $1$ coïncident sur un élément de $\Omega$ on a $\lambda(f_K)=1$ pour tout $K$.
Or tout voisinage de $0$ au sens des semi-normes $(p_i)_{i \in \N}$ contient un $f_K$ (On a $p_i(f_{K_{n+1}})=0$ quand $i=1,...,n$) et donc si $\lambda$ était continue pour ces semi-normes on aurait $\lambda(0)=1$ ce qui est impossible.

Sans ultrafiltre, mais toujours avec l'axiome de choix : on plonge $X$ dans le compactifié d'Alexandroff de $\C^n$ et on prend $x\in \partial X$. Soit $E=\{u; u\hbox{ admet une limite en }x\}$ et $F$ un supplémentaire algébrique de $E$. La forme linéaire $\lambda(u)=\lim_x u$ si $u\in E$, $\lambda(u)=0$ si $u\in F$ est continue pour la norme uniforme mais pas pour la topologie de la convergence compacte.