jordan

Bonso
on a bien 1 valeur propre double et -1 valeur propre simple
il convient d'abord de determiner les sous espaces propres
pour 1 on trouve une droite :(engendrée par (1,-1,0)
on peut donc deja dire que f n'est pas diagonalisable et par suite qu'une reduite de jordan sera bien telle que tu indiques
( pour -1 no pb une droite propre :en prenant un de ses vecteurs non nul
on le prendra comme troisiéme vecteur d'une nouvelle base reduisant f
par ex (1,1,-1) fera l'affaire)
Revenons à 1 :il s'agit de determiner une base de ker(f-I)²
on calcule le carré de A-I et on a aussitot comme equation du noyau cherché : x+y+z=0 Equation d'un plan bien sur ( et petite vérif. il contient bien le vecteur (1,-1,0) trouvé plus haut)
Comment construire une base dans laquelle la matrice sera celle que tu as indiquée?
pour le le troisieme vecteur ,deja vu:(1,1,-1)=e'3
pour le premier :ilfaut prendre un vecteur propre pour 1
on prend e'1=( 1,-1,0)
l'examen de la réduite attendue montre que e'2 doit etre tel que f(e'2)=e'1+e'2
donc (sans surprise!) (f-I)(e'2)=e'1
ayant choisi e'1et connaissant A-I on a un petit systeme de rang 2 qui va nous donner un e'2 :par ex e'2=(0,1,-1) fait l'affaire
Je te laisse vérifier qu'on a bien
f(e'1)=e'1 ; f(e'2)=e'1+e'2 ; f(e'3)=-e'3
il te reste à ecrire la matrice de passage P de la base initiale à la nouvelle base et à vérifier la formule reliant A,P,P^-1 et A' reduite de Jordan
Ce travail rebute souvent les débutants mais il est indispensable dans l'apprentissage.
Oump.