suite géométrique

Soit $u$ une suite. L'expression {\color{blue} \it  $u$ est une suite géométrique de raison $k$} est une abréviation pour dire {\color{blue} pour tout entier $n\in \N: u_{n+1} = k \times u_n$}

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L'expression {\color{bleu} $u$ est une suite géométrique} est une abréviation pour dire {\color{blue} il existe un nombre $k$ tel que $u$ est une suite géométrique de raison $k$}

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Soit $u$ une suite géométrique de raison $k$. Alors : 

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$u_1 = ku_0$

$u_2 = ku_1=k.ku_0=k^2u_0$

$u_3 = ku_2=k.ku_1=k^2u_1 = k.k^2u_0=k^3u_0$

etc, etc

$u_n=k^nu_0$

(et même $u_n = k^{(n-p)}u_p$)


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Soit $a$ un nombre. Alors $$a\times (1+a+a^2+...+a^n) = a+a^2+...+a^n+a^{n+1}$$
donc si on note $S:=1+a+...+a^n$, on obtient $1+aS  = S + a^{n+1}$. 

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{\color{red} Donc} $$(a-1)S =a^{n+1} - 1$$
Le "donc" rouge est à faire en exercice. Finalement, [color=#FF0000]si {\color{red} $a\neq 1$}[/color] ça valide la formule $$1+a+..+a^n = \frac{a^{n+1-1}}{a-1}$$

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Soit $u$ une suite de raison $k$. Alors $$u_0+u_1+..+u_n = u_0+ku_0+k^2u_0+..+k^nu_0=(1+k+k^2+..+k^n)\times u_0$$ 
Il en découle la formule: 
$$ u_0+..u_n = u_0\times \frac{k^{n+1}-1}{k-1}$$

qui ne marche que si $k\neq 1$. 

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Si $k=1$ alors $u_0=u_1=u_2=..=u_n$ donc $u_0+...+u_n = (n+1)\times u_0$