puissance d'une matrice

gebrane · December 2015

Bonjour à tous,
Après une longue absence je viens vers vous pour éclaircir un calcul matriciel.

On demande de calculer la puissance de la matrice $A=\begin{pmatrix}
a&0&0\\
0&a+1&b\\
0&0&a+2
\end{pmatrix}$ en utilisant la formule du binôme.
De ma part, pour appliquer la formule du binôme, on essaye d’écrire $A$ comme somme de deux matrices qui commutent avec un calcul abordable après.
Y a-t-il une décomposition astucieuse ?
Merci.

Utilisateur anonyme · December 2015

$A=D+N$, où $D = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a+1 & 0 \\ 0 & 0 & a+2 \end{pmatrix}$ et $N$ est nilpotente ...

Braun · December 2015

Bonsoir,
A priori je chercherais une diagonale et une triangulaire simple.

ev · December 2015

@ ezmaths.

Est-ce que $ND = DN$ ?

e.v.

Utilisateur anonyme · December 2015

$ND=DN+[N,D]$ ... peut-être que le commutateur a une tête sympathique ...

YvesM · December 2015

Bonjour,

Voici la solution demandée, sous forme d'indications pour laisser le plaisir à @gebrane0 :

On écrit $\displaystyle A=aI_3 + B.$
On calcule $\displaystyle B, B^2, B^3$ puis on fait une récurrence (très simple) pour trouver $\displaystyle B^n$ en fonction de l'entier $n$.

Et voilà.

Utilisateur anonyme · December 2015

avec le choix de $A=D+N$, où $D = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a+1 & 0 \\ 0 & 0 & a+2 \end{pmatrix}$ diagonale et $N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ nilpotente d'ordre $2$, on trouve que le commutateur $[N,D]$ vaut simplement $N$ ... avec un peu de gymnastique combinatoire consistant à ramener ma matrice $N$ à droite, on obtient :
$$\begin{eqnarray}
A^n & = & D^n + \left\{ \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} D^k \right\} N \\
& = & \begin{pmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & 0 \\ 0 & 0 & (a+2)^n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} * & 0 & 0 \\ 0 & \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k & 0 \\ 0 & 0 & * \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
& = & \begin{pmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & b \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k \\ 0 & 0 & (a+2)^n \end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$

remarque · December 2015

Avec une bonne vieille diagonalisation (qui n'utilise pas non plus la formule du binôme), ça semble de ramener à
$$A^n=\begin{pmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & b \bigl((a+2)^n-(a+1)^n\bigr) \\ 0 & 0 & (a+2)^n \end{pmatrix}.$$
Seule la méthode d'YvesM n'utilise (presque) que le binôme.

YvesM · December 2015

Bonjour,

@ezmaths, tu devrais simplifier l'écriture du terme non diagonal. On trouve :
$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a& 0& 0\\0 & a+1& b\\ 0& 0&a+2 \end{pmatrix} = aI_3 + B$ avec $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\0 & 1& b\\ 0& 0& 2 \end{pmatrix}.$
Par récurrence immédiate on a $\displaystyle B^k = \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\0 & 1& (2^k-1)b\\ 0& 0& 2^k \end{pmatrix}$ pour tout $k$ non nul.
Et alors $\displaystyle A^n = (aI_3 +

^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (aI_3)^{n-k}B^k = C_n^0 (aI_3)^{n}+ \sum_{k=1}^{n} C_n^k (aI_3)^{n-k}B^k .$
Il faut rassembler les termes pour simplifier l'écriture, par exemple, $\displaystyle C_n^0 a^{n}+ \sum_{k=1}^{n} C_n^k a^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (a)^{n-k} = (a+1)^n.$ Et surtout : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} C_n^k (2^k-1)ba^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (2^k a^{n-k} - a^{n-k})b = (a+2)^n - (a+1)^n.$
Et alors, finalement, pour tout $n$ entier :
$\displaystyle A^n = \begin{pmatrix} a^n& 0& 0\\0 & (a+1)^n& (a+2)^nb - (a+1)^nb\\ 0& 0&(a+2)^n \end{pmatrix}.$

Utilisateur anonyme · December 2015

:-( argh, la technique la plus maligne consiste à écrire $A$ sous la forme : $A = (a+1) I_3 + \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{P}$ ... on remarquera au préalable que la matrice $P$ vérifie :
$$\begin{eqnarray}
P^2 & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
\text{alors que } P^3 & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = P
\end{eqnarray}$$
dans cette configuration, on a pour tout $n \geq 2$ :
$$\begin{eqnarray}
A^n & = & \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (a+1)^k P^{n-k} \\
& = & \begin{pmatrix} (a+1)^n + \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} (a+1)^k & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & b \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k \\ 0 & 0 & (a+1)^n + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & b \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k \\ 0 & 0 & (a+2)^n \end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$

et comme me le fait remarquer @YvesM , le terme hors diagonale $b \displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k}$ se 'simplifie' en $b \Big[ (a+2)^n-(a+1)^n \Big]$ ... tout moi ça, je suis un méga boulet :-) qui adore traîner les symboles $\sum$ ... (quand je pense que sur papier j'utilise constamment la notation d'Einstein - si ce n'est pas de la contradiction, sigh) ...

gebrane · December 2015

Merci à vous tous
je pense aussi que la décomposition $$A = (a+1) I_3 + \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\textstyle B}$$ est la plus efficace.( j'ai bien aimé merci ezmaths;-))
j'avais pensé au début à la décomposition de YvesM, $$A = (a) I_3 + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}}_{\textstyle B}$$ mais je trouvais comme calculs
$\displaystyle B^2 = \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\0 & 1& 3b\\ 0& 0& 2^2 \end{pmatrix}$ et $\displaystyle B^3 = \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\0 & 1& 7b\\ 0& 0& 2^3 \end{pmatrix}$ et la récurrence ne me paraissait pas si évidente pourtant elle était sous mon nez !!! . Merci YvesM ;-)
Un salut chaleureux @ Remarque ;-)

remarque · December 2015

Alors personne n'aime la diagonalisation ? Pour une fois que c'est faisable à la main sans trop de calculs...
$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0&0\\0&a+1&0\\0&0&a+2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-b\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

YvesM · December 2015

Bonjour,

Cette matrice $A$ est pédagogique car elle permet d'utiliser toutes ces méthodes. En voici une dernière, à ne pas négliger : on calcule $A^2, A^3$ et ensuite on montre par récurrence que $\displaystyle A^n = \begin{pmatrix} u_n& 0& 0\\0 & v_n& w_n\\ 0& 0&t_n \end{pmatrix}$ où on trouve immédiatement des relations de récurrences très simples en écrivant $A^{n+1} = A^n A.$

La méthode scalaire, qui consiste à écrire $A=\lambda I + B$ donne le choix de la constante $\lambda$, que l'on prend en général pour faire appraître le maximum de $0$. @ezmaths a trouvé une très jolie simplification.

Enfin, dans ce genre de calculs, les erreurs sont très souvent :
- de ne pas se rendre compte que les expressions trouvées pour $B^k$ ne sont valides que pour $k \geq k_0$ avec $k_0$ non nul,
- ou le contraire, écrire $B^k$ pour $k \geq 2$ alors que la même expression est valide pour $k =1$,
- ne pas simplifier l'expression trouvée, par exemple, laisser $\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k$ au lieu de remplacer par $(a+2)^k - (a+1)^k$, ce n'est pas faux, mais les calculs qui suivent, comme calculer l'exponentielle de $A$ ou résoudre une équation différentielle, seront très pénibles.

gebrane · December 2015

Merci Yves M pour ces précisons
@Remarque, la question était d'appliquer la formule de binôme et rien de plus
La diagonalisation marche pour des matrices plus monstrueuses que celle ci
Cordialement

remarque · December 2015

@gebrane0 : j'avais bien compris. Néanmoins ici, la diagonalisation présente l'avantage de donner le résultat sans trop risquer de se tromper avec un minimum de calculs. Ce qui n'est pas négligeable au vu du reste du fil.

gebrane · December 2015

@Remarque j'avoue;-)

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