Quadruplet et produit cartésien
Bonsoir,
Est-il correct d'écrire (par exemple) : Pour tout quadruplet (m,n,a,b) € N² x Z².... au lieu de (m,n,a,b) € N x N x Z x Z ?
Merci pour vos réponses
Est-il correct d'écrire (par exemple) : Pour tout quadruplet (m,n,a,b) € N² x Z².... au lieu de (m,n,a,b) € N x N x Z x Z ?
Merci pour vos réponses
Réponses
-
Une question similaire est : quel sens donner à l'égalité suivante ?( ou, de manière plus ouverte, la question "l'égalité est-elle vraie ?").
$\mathbb N^2\times\mathbb Z^2 = \mathbb N\times\mathbb N \times \mathbb Z \times \mathbb Z$ -
Bonjour,
J'ai toujours cru que le produit d'ensembles était associatif, où est le problème ? -
Mon intervention consiste à demander si cette égalité est vraie, et quelle sens elle aurait dans l'affirmative :
(Je ne réponds pas volontairement, pour faire réfléchir)
$\big((m,n),(a,b)\big)=(m,n,a,b)$
Plus simplement :
$\mathbb N$ est un ensemble, $\mathbb N\times\mathbb N$ est un ensemble aussi.
Un élément du second peut être noté $x$ et c'est aussi un couple d'entiers qu'on peut noter $(m,n)$.
On aurait l'égalité des éléments : $x=(m,n)$. -
J'ai toujours cru que le produit d'ensembles était associatif, où est le problème ?
Hélas, elle ne l'est pas. Tu dois confondre avec les cardinaux: il y a une bijection entre $(A\times \times C$ et $A\times (B\times C)$ (et même entre $A\times B$ et $B\times A$ :-D )Est-il correct d'écrire (par exemple) : Pour tout quadruplet (m,n,a,b) € N² x Z².... au lieu de (m,n,a,b) € N x N x Z x Z ?
Non, ça ne l'est pas. Le deuxième est ((N×N)×Z)×ZAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonsoir,
Si on en croit la tradition il vaut mieux en avoir une paire de plus qu'une paire de moins, là encore l'écriture $((m,n),(a,b))=(m,n,a,b)$ ne me choque pas.
Par contre j'aurais une certaine hostilité face à $\{\{m,\,n\},\,\{a,\,b\}\}=\{m,\,n,\,a,\,b\}$, un caprice comme ça.
Edit :
Une paire de parenthèses, oeuf corse. -
Bosoir,
> Si on en croit la tradition il vaut mieux en avoir une paire de plus qu'une paire de moins
ev, tu l'as ratée, celle là.
Cordialement,
Rescassol -
@Braun, tu te trompes, c'est purement et simplement faux: suppose que tu ne te trompes pas. Alors
$$ ((5,6),7) = (5,(6,7))$$
ce qui entraine $(5,6)=5$ et $7=(6,7)$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je pense que ça suffira à te convaincre, mais des fois que non, vu que je me déconnecte, je continue. Tu déduis de la manière que $7=(3,7)$, puis que $3=6$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Bonsoir christophe c,
Ma seule conclusion est que finalement le débat en vaut la peine, j'attends la suite. -
Je crois que dans les milieux autorisés, on s'autorise à dire quelque chose comme "le produit est associatif à isomorphisme canonique près", non ?
-
C'est un problème classique pour les chercheurs habitués à raisonner "à isomorphisme près", on finit parfois par simplement amalgamer la notion d'égalité et d'isomorphisme, on finit même par faire une confusion décomplexée des deux symboles $=$ et $\simeq$.
Un moyen de formaliser ça, c'est de définir une nouvelle catégorie où les isomorphismes sont des égalités (cette catégorie étant équivalente à celle de départ, je dis bien "équivalente" et non "égale".) -
Et attention un isomorphisme canonique, ce n'est pas de la roupie de sansonnet. ;-)
-
@Cyrano : je n'ai pas l'habitude d'amalgamer les produits ! Et mes complexes à moi sont souvent isomorphes. (Le signe =, ce n'est pas quand l'isomorphisme est canonique justement ?)
@Braun : je sais... enfin j'ai su... D'ailleurs si tu pouvais me rappeler une définition carrée de l'adjectif "canonique" je t'en serais reconnaissant. Quelque chose comme "il n'y a qu'un seul isomorphisme à l'application d'un foncteur bijectif unique près" ? -
@skilveg : Mais je ne reprochais à personne d'amalgamer quoique ce soit ici, c'est juste un problème que j'ai régulièrement constaté. :-)
Et non isomorphisme canonique ne justifie pas de mettre un signe égal. Un isomorphisme $X \simeq Y$ est canonique si l'on connait explicitement la flèche qui va de $X$ dans $Y$ et qui réalise l'isomorphisme. En pratique, il est bien entendu souvent impératif de connaître explicitement les flèches, les isomorphismes ne sont intéressants que s'ils sont canoniques. Et là arrive alors un autre piège dans lequel j'ai vu énormément d'étudiants tomber, c'est de retenir que deux objets sont isomorphes mais oublier la flèche qui réalise l'isomorphisme. Or celle-ci est tout aussi importante, voire plus importe que le reste. -
Et maintenant qu'on a utilisé le mot "isomorphisme (d'ensembles)" , on peut se demander si l'égalité suivante est vraie (ou bien s'il s'agit d'un isomorphisme d'ensembles) :
$\mathbb N\times\mathbb N=\mathbb N^2$.
Et en remplaçant $^2$ par $^3$ (Avec un facteur "cartésien" de plus à gauche) ? -
@Cyrano, il faut faire attention à ce que les visiteurs comprendront de ce fil quand ils le visiteront. Certes il "arrive" parfois que "en algèbre" on regarde les classes d'isomorphisme et qu'on passe de la catégorie à son (un de ses) squelettes. Mais ceci concerne des contextes de recherche précis et précisés au départ. Cela n'a rien à voir avec ce fil. Par ailleurs, l'aspect catégorique ne change rien à l'affaire: même dans une catégorie cartésienne un $(A\times \times C$ n'a pas de raison d'être EGAL à $A\times (B\times C)$.
Dans le contexte présent du fil, l'isomorphisme n'a aucun intérêt et ne compte pas. Les isomorphismes de ENS sont les bijections. Il est clair que si un gars veut demander si $card((A\times \times C) = card(A\times (B\times C))$, il le demandera comme ça (il n'ira jamais parler d'égalité, à moins d'être un étudiant à la ramasse qui ne comprend pas lui-même ce qu'il raconte comme on en croise une proportion sur le forum).
Pour insister lourdement et être tout à fait clair (et je fais remarquer que je ne me sers pas de la définition ensembliste du couple, elle peut être n'importe laquelle qui convient), je rappelle la preuve déjà signalée:
si $((1,0),1) = (1,(0,1))$ alors $0=1$
Je rappelle aussi quelques conventions:
La notation $A\times B\times C$ abrège $(A\times \times C$. Cette règle permet de ne pas écrire des parenthèses qui sont présentes quand-même (visibles par le cerveau mais pas l'oeil).
Pour être tout à fait complet, je signale aussi une homonymie routinière mais fautive: $E^2$ veut dire 2 choses (qui sont différentes***):
1) il abrège $E\times E$
2) il abrège ensemble des applications de $2$ dans $E$ (je rappelle que $2=\{0;1\}$ et $1=\{0\}$ et $0=\emptyset$.
Or ces deux choses sont différentes. Quand $n\neq 2$, par contre, il n'y a pas d'ambiguité, $E^a$ veut TOUJOURS dire ensemble des applications de $a$ dans $E$. En particulier $E^0$ veut dire ensemble des applications de $\emptyset $ dans $E$ et $E^1$ veut dire ensemble des applications de $1$ dans $E$.
*** c'est le contexte qui permet de trancher (comme pour le $+$ de $\R$ et le $+$ de $\C$)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Christophe C : Bien entendu, je n'ai jamais dit le contraire, je me suis quelque peu éloigné de la question initiale en lisant les réponses. :-)
Il n'empêche que je trouve, que pour un "débutant", il est important de trouver seul la flèche "naturelle" qui réalise l'isomorphisme $(X \times Y) \times Z \simeq X \times (Y \times Z),$ à savoir $((x,y),z) \mapsto (x,(y,z)).$ Elle est certes terriblement triviale, mais c'est selon moi une bonne habitude à prendre.
@skilveg : Tout dépend de ce qu'on entend par explicite, si c'est "calculable par une gentille formule" alors je dirais non. Canoniser les choses c'est simplement faire un choix. Lorsque qu'on sait que deux objets $X$ et $Y$ sont isomorphes, il y a potentiellement plein d'isomorphismes différents entre les deux. Canoniser l'expression consiste à se fixer une fois pour toute un $f : X \to Y$ tel que $X \underset{f}\simeq Y.$ Dans de nombreuses situations, il y a un isomorphisme "naturel et intuitif" à choisir mais ce n'est pas toujours le cas. -
Je croyais que "canonique" se traduisait plutôt par "il y a éventuellement du choix, mais ce choix n'influence pas les propriétés", ou approchant. Je m'attache à faire la distinction avec "standard" (par exemple : la base standard de $\mathbb{R}^n$ n'a rien de canonique). Bah, ce n'est sans doute que du pinaillage lexical.
-
Le mot canonique n'est pas mathématique. Par contre, concernant les isomorphismes certains ont des propriétés générales que les autres n'ont pas.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Pour répondre de façon plus terre à terre à Endomorphisme :
- Strictement parlant, il n'est pas correct d'écrire $(a,b,c,d) \in A^2 \times B^2$
- Il y a bijection entre $A\times A\times B\times B$ et $A^2 \times B^2$ mais pas égalité
- Tout le monde comprend très bien ce que tu veux dire quand tu écris $(a,b,c,d) \in A^2 \times B^2$ et tout le monde le fait s'en rendre compte (et les personnes qui affirment le contraire ont un goût prononcé pour les drosophiles). -
Pour tous $a,b\in\mathbb{N}$ et $c,d\in\mathbb{Z}$ est peut-être une alternative économique en caractères et qui passe mieux à la moulinette informalisatrice?
Dépendant bien sûr de ce qu'on veut faire de ce début d'alphabet -
Oui même si c'est un abus d'écriture. Il faut en être conscient.
-
Pour tous $a,b\in\mathbb N$ et $c,d \mathbb Z$ est peut-être une alternative économique en caractères et qui passe mieux à la moulinette informalisatrice?
Dans ce cas, $(a,b)\in\mathbb N^2$ et $(c,d) \in\mathbb Z^2$ qu'il vaut mieux écrire... Pardon aux mouches, tout ça... -
Oui voilà, ça bourdonne plus comme ça.
-
Pas sûr d'être d'accord, Dom.
Après cela on peut considérer les couplages dont on a (éventuellement : il faudrait que l'auteur précise ce qui doit suivre cette palpitante introdruction..) besoin. -
Ok. En fait je n'ai pas compris avec quoi tu n'es pas sûr d'être d'accord.
-
Que ce serait un abus d'écriture.
(Toutes proportions gardées : le moindre mot est sûrement un abus d'écriture, suivant le degré de capillotomie chosi) -
Ha d'accord. Oui c'est vrai.
Disons que là encore c'est à utiliser si on sait que l'on se permet quelque chose.
En L1, par exemple, je bannirais.
En L2, voire L3, j'autoriserais.
C'est pour illustrer mon propos que je dis cela. Je ne suis pas sectaire ;-) -
Bonsoir,
Ayant cherché des références dans un ouvrage classique publié sous la direction de Paul Augé, je trouve :
Canonique. Conforme, relatif aux canons de l'Eglise.
Fam. Conforme aux bonnes règles.
Math. Canonique est employé dans le sens de général, principal.
Ceci mis à part et en restant à un niveau scolaire, il me plaît assez de pouvoir définir un point de l'espace aussi bien par ses trois projections sur les axes que par un point du plan horizontal et un point de l'axe vertical, voire par trois coordonnées sans aller creuser trop loin. -
Pardon aux diptères et surtout aux gens que cela n'intéresse pas (et qui ont sans doute raison), mais j'ai trouvé des choses sensées ici, dont une de Chambert-Loir qui me satisfait pas mal :
http://mathoverflow.net/questions/19644/what-is-the-definition-of-canonical
J'arrête ici ce qui vu la question initiale est en train de devenir un troll...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 164.7K Toutes les catégories
- 43 Collège/Lycée
- 22.1K Algèbre
- 37.4K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 57 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 19 CultureMath
- 49 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.6K Géométrie
- 80 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 73 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 331 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 791 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres