Équivalent

Je ne voit pas comment on trouve un tel équivalent (1+1/(2n)+O(1/n^2)). Pour trouver un équivalent au voisinage d'un point j'ai compris qu'il me faut la dérivée en ce point.
Ici la dérivée de $\exp(1-1/x\log(1+x))$ en 046239

Réponses

  • C'est sans doute pas la bonne manière puisque l'on obtient une déricée un peu deg: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+derivative+exp(1−1/xlog(1+x))
  • Ce n'est pas la seule façon ! Surtout si on veut préciser que le terme d'erreur est en $O(1/n^2)$.

    Ici, il faut (on peut) faire un développement asymptotique de $\ln(1+1/n)$ à l'ordre... À l'ordre combien au fait ? Puis multiplier par $n$, simplifier le $1$ qui est apparu, constater qu'il reste quelque chose qui tend vers $0$, utiliser par exemple $\exp(x)=1+x+O(x^2)$ au voisinage de $0$ pour conclure.
  • Excusez moi, dévelopement asymptotique désigne la même chose que développement limité ?[ Ah oui le dévelopement asymptotique est une notion plus générale où l'onconsidère des fonction d références qui ne sont pas forcément des polynômes: https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_asymptotique#Analyse_asymptotique_:_comportement_.C3.A9quivalent]

    Est on sû qu'au voisinage d'un point toute fonction peut être "approchée" par une "fonction de comparaison" ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_asymptotique#Fonctions_de_comparaison
  • En gros oui, sauf que la variable peut tendre vers l'infini au lieu d'un réel fixé et que l'échelle de comparaison n'est pas limitée aux seuls polynômes. (Ici, c'est le cas : $n$ tend vers l'infini.)

    Par exemple, $u_n=\frac1n-\frac1{n\ln n}+O(\frac1{n^2})$ est un développement asymptotique. Mais $u_n=1+\frac1{2n}+O(\frac1{n^2})$ aussi bien sûr.
  • Salut,

    Tu te compliques trop la vie. En reprenant l'exemple simple de Jer anonyme : c'est à dire le DL de exp(X) à l'ordre 2 et en posant X=1/2n, qu'obtiens-tu? En sachant que dans ce genre d'écriture, les constantes multiplicatives dans les petits o et grand O, on s'en moque un peu...

    Sinon pour répondre à ta question, la base d'un développement asymptotique c'est un développement limité : sauf qu'on travaille en l'infini.

    clothoide
  • Merci, je vois effectivement dans le Dieudonné tout l'intérêt des développements asymptotiques (c'est en fait très intéressant)
  • Donc pour reprendre le calcul. Déjà je constate qu'effectivement décomposer le calcul au lieu de vouloir trouver tout de suite la dérivée est plus pratique.
    - En m'aidant de la dérivation de ln(1+x) en 0 ainsi que de la dérivée seconde j'écris:
    $ln(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+O(1/n^3)$ (j'ai mis un grand O ce qu n'est pas courant ici il yba plus de précission car on dit implicitement que le polynôme contient un terme de l'ordre de 1/n^3)
    - En multipliant par n puis en retranchant 1 j'obtient $1-log(1+1/n)=1/2n +O(1/n^2)$. J'avoue que je fais tous ca un peu de manière barbare sans me poser de questions. Est ce légitime de multiplier par n ?
    - Maintenant passer à l'exponentielle (d'après ce que je lis il faut se méfier des composition par exponentielle en + \infty ainsi que des logarithmes en 0)
  • J'ai un gros doute, peut on réellement composer des équivalents ?[Ah oui je vois un paragraphe qui parle de changement de variable/composition à droite, mais je ne sais pas si j'ai le droit de procéder de même avec les équivalents ]
  • Ah en fait il s'agit d'un théorème qui porte sur la composition de dévelopements limités (je perds un temps fou avec toutes mes lacunes)!! je viens de le trouver
  • En effet, on ne peut pas (en général, donc il est très dangereux de) composer des équivalents. En revanche, on peut composer des développements limités, c'est bien ce qu'il faut faire ici.
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