bijection

olmath · November 2015

Bonjour tous le monde
Je ne sais pas répondre à la question suivante comment faire s'il vous plait.

On définit l'ensemble $ S \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N} $ par $$
S = \{ (k,\ell) \mid k,\ell \in \mathbb{N} ,\ \ell\geq 1,\ k \in [0,\ell-1]\}
$$ Montrer qu'il existe une bijection $ \sigma : \mathbb{N} \to S $.

Braun · November 2015

Bonjour,
Il me semble que tu pourrais déjà voir le « démarrage » sur une représentation graphique ...
Et t'inspirer de la propriété analogue de $\mathbb{N}^2$.

olmath · November 2015

je comprends pas ... le résultat est analogue à celui qui montre la dénombrabilité de $\mathbb{N}^2$ ?

Braun · November 2015

Si mes lointains souvenirs sont bons, il me semble que la méthode devrait fonctionner.

Utilisateur anonyme · November 2015

on met en relation $\mathbb{N} \ni n \mapsto \ell = n+1$ ...

olmath · November 2015

ok je vais essayer la méthode du graphique qui à chaque élément de S associe un entier naturel , de toute façon j'ai pas d'autre idée et j'ai pas envie de chercher une application ...
merci :-)

olmath · November 2015

Dans la suite de l'exercice, on me dit :

On définit pour tous couple dans $S$ la fonction $ f_{(k,\ell)} $ par : $$
f_{(k,\ell)} = \mathbf 1_{ \ell_{(k,\ell)}} ,\quad\text{avec }\ \mathcal I_{(k,\ell)} = \Big[ \frac{k}{\ell}, \frac{k+1}{\ell} \Big]
$$ Ensuite, on pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\quad g_{n} = f_{\sigma(n)}$

Je ne sais pas quoi poser pour $\sigma(n)$ ?

Utilisateur anonyme · November 2015

vu que $\mathbb{N} \simeq S$, on a l'embarras du choix de la bijection $\sigma$ ... peut-être y en a-t'il un qui soit canonique ???

olmath · November 2015

tu prendrais lequel toi ezmaths ? voir si on pense au même ..

Utilisateur anonyme · November 2015

moi, je prendrais bien $n \mapsto \{ (k,n) \in \mathbb{N}^2 \; | \; 0 \leq k \leq n-1 \}$ (dont d'ailleurs le cardinal est $n$) ...

olmath · November 2015

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bijection

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