Tirages

Bibifle
Bibifle
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

Mon problème est le suivant :
Un tirage de 5 numéros intervient sur 50 numéros, de 1 à 50
Sur les 50 numéros possibles, quelle est la probabilité que j'ai au moins 1 bon numéro sur un ticket de 9 numéros joués ?

Mon raisonnement est le suivant :
Si tirage d'1 seul numéro, j'aurais 9 / 50, soit 18% de probabilité d'avoir 1 bon numéro sur 9 numéros joués.
Mais je n'arrive pas à modéliser sur 1 tirage de 5 numéros, même s'il est évident que la probabilité s'élève de 18% pour tendre vers 100% au fur et à mesure que le nombre de tirages tend vers l'infini…

Pouvez-vous m'aider ?
Merci !

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    La probabilité contraire semble assez facile à calculer.

    Cordialement.
  • Bibifle
    Bibifle
    Elle est certainement plus facile à calculer, de là à dire "assez facile"...

    Sauf erreur :
    J'ai une probabilité de départ de 41 / 50 = 0,82
    Puis au deuxième tirage de 40 / 49 = 0,8163
    Puis au le troisième de 39 / 48 = 0,8125
    Puis au quatrième de 38 / 47 = 0,8085
    Enfin au cinquième de 37 / 46 = 0,8043

    Mais je n'arrive pas à lier les 5 tirages consécutifs...

    Des idées ?

    Bien cordialement,
  • gerard0
    gerard0
    Tu compliques.

    La probabilité de n'avoir aucunbon numéro est celle que le tirage soit celui de 5 numéros parmi les 41 que tu n'as pas. Nombre de cas favorables/nombre de cas possibles.

    Cordialement.
  • Bibifle
    Bibifle
    Mais je comprends mal la prise en compte de la répétition, qui doit nécessairement faire augmenter la probabilité.
    Pour simplifier, si j'ai 5 tirages d'un numéro parmi 50, en remettant le numéro sorti après chaque tirage (ce qui n'était pas mon hypothèse d'origine), ma probabilité doit augmenter avec le nombre de tirages (pour tendre vers 1 avec une infini de tirages)
    Si j'ai 1 tirage de 5 numéros (hypothèse d'origine), la probabilité doit augmenter davantage encore...

    Merci pour le temps que tu me consacres !

    Cordialement,
  • gerard0
    gerard0
    Désolé,

    mais je ne comprends pas ce que tu dis. Tu as parlé au départ d'un tirage (à vue de nez sans remise). et parlé de "répétition", j'ai cru que tu voulais dire 5 ou 9. maintenant tu sembles parler d'autre chose. On ne peut pas avancer si on ne sait pas de quoi il est question.

    Donc définis exactement l'épreuve aléatoire dont tu veux parler, et l'événement dont tu veux calculer la probabilité.
  • joel_5632
    joel_5632
    Bonjour

    Je propose de reformuler l'exercice ainsi:

    Une urne contient 50 boules numérotées de 1 à 50. Sur ces 50 boules 5 sont gagnantes, on les suppose noires, les autres boules perdantes étant blanches. Puis on tire au hasard dans l'urne 9 boules, sans remise.

    Quelle est la probabilité d'avoir tiré au moins une boule noire ?

    Ecrit comme ça, c'est un exercice ultra-classique.
  • Bibifle
    Bibifle
    Bonsoir,
    Vous avez tout à fait raison, cela correspond en fait à 9 tirages !
    J'ai du mal à appréhender en même temps ce tirage de 9 boules sans remise avec la probabilité que 5 boules soient gagnantes…
    Pourriez-vous me faire part de votre raisonnement ?
  • joel_5632
    joel_5632
    Il n 'y a pas vraiment de raisonnement. C'est le même exercice que tu as posé mais que je l'ai formulé autrement.

    Dans le tirage de loto que tu décris, on commence par choisir 9 numéros que l'on coche sur un ticket, puis le tirage du loto a lieu et 5 numéros sortent. Et on demande la probabilité d'avoir au moins un n° gagnant.

    On pourrait procéder autrement. On commence par tirer au sort les 5 numéros gagnants, et on colorie en noir les 5 boules correspondantes de l'urne, puis le joueur choisit au hasard 9 numéros (il ignore les n° sortis évidement), ce qui revient à tirer au sort 9 boules de l'urne sans remise.

    Voilà

    Ensuite cherche loi hypergéométrique dans wikipédia par exemple.
  • Bibifle
    Bibifle
    Sauf erreur, la loi hypergéométrique va me permettre de calculer l'espérance mathématique, la variance, l'écart type… mais pas ma probabilité (je vous énerve vraiment maintenant…)
  • joel_5632
    joel_5632
    si, si

    Tu cherches la probabilité d'avoir au moins un n° gagnant, c'est 1 - Proba d'avoir aucun n° gagnant, c'est P(X=0).

    Et pour P(X=k) = p(k), voir la page wikipédia de la loi hypergeometrique


    https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hyperg%C3%A9om%C3%A9trique
  • Kito
    Kito
    Oui.
  • Bibifle
    Bibifle
    Loi hypergéométrique de paramètres (9 ; 5 ; 50) pour P(X=0) = 35,37 %
    - 1 = 64,63 %

    C'est bien exact ?

    Ce qui peut être confirmé ainsi :
    - si P(X=0) = 35,37 %
    - si P(X=1) = 43,02 %
    - si P(X=2) = 18,11 %
    - si P(X=3) = 3,25 %
    - si P(X=4) = 0,24 %
    - si P(X=5) = 0,01 %

    L'ensemble égalant 1...
  • joel_5632
    joel_5632
    En fait il y a deux façons équivalentes de voir les choses

    On a 50 numéros en tout, 5 sont gagnants, on en tire 9 sans remise, et on demande la proba d'obtenir k numéros gagnants

    ou

    On a 50 numéros en tout, 9 sont gagnants, on en tire 5 sans remise, et on demande la proba d'obtenir k numéros gagnants


    Dans mes messages précédents, j'ai considéré le 2 ème point de vue, ce n'est pas très logique pour un loto et ça t'a peut être embrouillé. Mieux vaut considérer le 1 er point de vue (les résultats sont les mêmes dans les 2 cas).

    et je trouve:

    P(X=0) =0.35
    P(X=1) =0.43
    P(X=2) =0.18
    P(X=3) =0.032
    P(X=4) =0.0024
    P(X=5) =5.94e-05

    ah ben c'est les mêmes résultats que toi
  • Bibifle
    Bibifle
    Merci pour ta confirmation Joël.
    Je ne suis pas sûr que la loi hypergéométrique soit au programme de 3e, voire de lycée…?
  • Yannoolebifleur
    Yannoolebifleur
    Bonjour il y a quelque chose que je ne suis pas sûr de comprendre. En effet ne serait-il pas plus simple de calculer les chances de ne pas gagner. Au lieu de gagner. Je m'explique il nous faudrait calculer toutes les combinaisons ou aucun des neuf numéro sort.
    On connaît le nombre de combinaisons totale. Il suffirait de faire la soustraction et on obtiendrait donc le résultat. Je me trompe ?

    On pourrait peut-être alors utiliser les factorielles ?
  • Bibifle
    Bibifle
    Bonjour Yannoo,
    C'est ce qu'a suggéré Joël je pense.
    Proba qu'aucun numéro ne sorte : P(X=0) = 0,35
    Proba qu'au moins un numéro sorte : 1 - 0,35 = 0,65
    …
  • CounterBiffle
    CounterBiffle
    Attention, le résultat est :

    Proba qu'aucun numéro ne sorte : P(X=0) = 0,35375
    Proba qu'au moins un numéro sorte : 1 - 0,35375 = 0,6463

    Le nombre de chiffres significatifs prend toute sa dimension ici.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français