problème intégration
Réponses
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Perso, la première chose que je ferais (à tort ou à raison), c'est un changement de variable pour avoir un intervalle d'intégration fixe.
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Bonsoir ,
Je subodore que $k$ et $l$ sont des entiers , tu peux préciser les domaines de tes variables?
Sinon on peut commencer par $k=l$ , l'intégrale est calculable
On peut essayer des majorations de trigo pour se débarasser des $sin$ et $cos$ , genre $ | sin(p)-sin(q) | \leq |p-q| $Le zéro crée des difficultés comme le vide donne le vertige -
Bonjour taib ,
Cet exercice me laisse perplexe, sa présentation manque de rigueur : sans précision sur le domaine des variables, on ne peut pas étudier correctement la majoration.
Tu m'as précisé (par M.P. , quid des autres lecteurs ?) que $k$ et $l$ sont des entiers naturels, mais :
- dans la première inégalité, il faut aussi préciser dans quel interval se situe $\omega$. On peut penser que $C$ est une constante positive (indépendante de $k$ et $\omega$) et que $\omega$ est positif, ce qui implique tout au plus que $\omega$ varie dans l'intervalle $[0; \pi]$ ; mais pourquoi pas seulement dans $[0; \frac{\pi}{ 2} ]$ ? Ce qui change le problème...
- pour la seconde inégalité, rien n'est dit sur $\alpha$ (positif ?) , $\alpha$ et $\beta$ pouvant être supposés réels.
Sur le fond des choses :
En supposant que $\omega$ varie dans l'intervalle $[0; \pi]$, il me semble que la première inégalité est fausse, ce que l'on peut essayer de montrer c'est que : $${ \int _{0}^{w}} \Big(\sin(k\,\theta) - \sin\big({ \dfrac {k\,\pi \,\theta}{\omega}} \big)\Big)^{2}\,d\theta \leq C k (\pi - \omega)$$ la constante $C$ étant égale $1$ (peut-être as-tu confondu $C$ et $k$ ?)
Cela ne m'a pas encouragé pour regarder la seconde inégalité...
À te lire,
Cordialement.Le zéro crée des difficultés comme le vide donne le vertige -
Bonjour acetonik,
Je m'excuse de ne pas avoir été assez clair dans mes précédents messages, effectivement $C$ est une constante positive ( indépendante de $k$ et $\omega$) et que $\omega \in \left[\frac{2\pi}{3}, \pi\right]$, $\alpha$ un réel positif. En fait j'ai besoin de ce résultat pour démontrer l'inégalité suivante :
\begin{align*}
\int^{\omega}_{0}\left|\sum_{k}\lambda_{k}(\sin k\theta-\sin\frac{k\pi}{\omega}\theta)\right|^{2}d\theta\leq C (\pi-\omega)^{\alpha}\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{2}
\end{align*}
Mes sincères salutations -
"Ce résultat " $\displaystyle \int _{0}^{w} \Big(\sin(k\,\theta) - \sin\big( \dfrac {k\,\pi \,\theta}{\omega} \big)\Big)^{2}\,d\theta \leq C (\pi - \omega)$ reste faux lorsque $\omega \in \left[\frac{2\pi}{3}, \pi\right]$ et pour aussi tout intervalle $\left[a ; \pi\right] $ $ (a \geq 0)$.
On ne pourra obtenir mieux que : $\displaystyle \dfrac{1}{k(\pi-\omega)} \int _{0}^{w} \Big(\sin(k\,\theta) - \sin\big( \dfrac {k\,\pi \,\theta}{\omega} \big)\Big)^{2}\,d\theta \leq 1 $
(1 est la borne $\sup$ ... et ce ne sera pas facile de le démontrer)
Pour l'autre inégalité on ne pourra , me semble-t-il, obtenir mieux que :
$ \int^{\omega}_{0}\left|\sum_{k}\lambda_{k}(\sin k\theta-\sin\frac{k\pi}{\omega}\theta)\right|^{2}d\theta\leq (\pi-\omega) \sum_{k} k \left|\lambda_{k}\right|^{2} $
(sans oublier de justifier l'interversion intégrale-somme)
CdtLe zéro crée des difficultés comme le vide donne le vertige -
Bonjour,
pourquoi ce resultat est faux quand $\omega \in \left[\frac{2\pi}{\omega},\pi\right]$? j'ai fait une démonstration pour le cas $k=l$ mais je ne suis pas sûr c'est elle juste.
\begin{align*}
&\left|\int^{\omega}_{0}(\sin k\theta-\sin \frac{k\pi}{\omega}\theta)(\sin k\theta-\sin \frac{k\pi}{\omega}\theta)d\theta\right|\\
&\leq \int^{\omega}_{0}\left|\sin k\theta-\sin \frac{k\pi}{\omega}\theta\right|\left|\sin k\theta-\sin \frac{k\pi}{\omega}\theta\right|d\theta \\
&\leq k\left|1-\frac{\pi}{\omega}\right|\int^{\omega}_{0}\left|\sin k\theta-\sin \frac{k\pi}{\omega}\theta\right|\theta d\theta.
\end{align*}
Or par l'intégration par partie on a
\begin{align*}
\int^{\omega}_{0}\left|\sin k\theta-\sin \frac{k\pi}{\omega}\theta\right|\theta d\theta\leq \frac{C}{k}.
\end{align*} -
@ taib,
Tu ne nous montres pas ton calcul ...
Je mets en évidence une grave erreur toujours possible :
\begin{align*}
&\left|\int^{\omega}_{0}(\sin (k\theta)-\sin( \frac{k\pi}{\omega}\theta)) ^2 d\theta \right | \leq
k\left|1-\frac{\pi}{\omega}\right|\int^{\omega}_{0}\left|\sin (k\theta) -\sin (\frac{k\pi}{\omega}\theta )\right|\theta d\theta
\end{align*}
jusque là OK
on pose $\epsilon=\pm 1$ et on obtient:
\begin{align*}
& \int^{\omega}_{0}\left|\sin (k\theta) -\sin (\frac{k\pi}{\omega}\theta )\right|\theta d\theta = {\int _{0}^{\omega}} \varepsilon \,(\mathrm{sin}(k\,\theta) - \mathrm{sin}({ \frac {k\,\pi \,\theta}{\omega}} ))\,\theta\,d\theta= { \frac {\varepsilon \,\mathrm{sin}(\omega\,k)}{k^{2}}} - { \frac {\varepsilon \mathrm{cos}(\omega\,k)}{k}} + { \frac {\varepsilon\omega^{2}\,(-1)^{k}}{k\,\pi }} \\
&\int^{\omega}_{0}\left|\sin (k\theta) -\sin (\frac{k\pi}{\omega}\theta )\right|\theta d\theta \leq
\left|{ \frac {\mathrm{sin}(\omega\,k)}{k^{2}}} \right| +\left| { \frac {w\,\mathrm{cos}(\omega\,k)}{k}} \right| + \left|{ \frac {\omega^{2}\,(-1)^{k}}{k\,\pi }}\right| \leq \frac{2\omega}{k} + \frac{\omega^2}{k\pi} \\
\end{align*}
Finalement: sachant que $ 0 \leq \omega \leq \pi $
\begin{align*}
&\left|\int^{\omega}_{0}(\sin (k\theta)-\sin( \frac{k\pi}{\omega}\theta)) ^2 d\theta \right | \leq (2+\dfrac{\omega}{\pi})(\pi-\omega) \leq 3(\pi-\omega)
\end{align*}
et c'est faux .... car $\varepsilon$ dépend de $\theta$ !!
Edit: Un contre exemple suffit d'ailleurs pour prouver que cette majoration est fausse.
Pour $ k= 12$ et $ \omega=3 $
\begin{align*}
{\int _{0}^{\omega}} (\mathrm{sin}(k\,\theta) - \mathrm{sin}({ \frac {k\,\pi \,\theta}{\omega}} ))^{2}\,d\theta \simeq 1.2032 \\
3(\pi-\omega ) \simeq 0 .4247
\end{align*}
On a par contre:
\begin{align*}
&\forall k \in N & \left|\int^{\omega}_{0}(\sin (k\theta)-\sin( \frac{k\pi}{\omega}\theta)) ^2 d\theta \right | \leq k (\pi-\omega)
\end{align*}
Bon courageLe zéro crée des difficultés comme le vide donne le vertige -
Bonjour acetonik,
Tout d abord je tiens a te remercier pour votre réponse, tu as raison, j'ai rectifié l'erreur.
Je me permettrais de tu recontacter parceque j'ai besoin de ton aide pour résoudre le problème ci-dessous
J'ai du mal à montrer
\begin{align*}
\int^{1}_{r}\left|(\frac{k\pi}{\omega}-1)s^{-\frac{k\pi}{\omega}}r^{\frac{k\pi}{\omega}-2}-(k-1)s^{-k}r^{k-2})\right|sds \leq C(\pi-\omega),
\end{align*}
avec $k\in \mathbb{N} \geq 3$, $r\leq 1$ et $\omega \in \left[\frac{2\pi}{\omega},\pi\right]$.
Merci d'avance -
Bonjour @taïb,
Il faut mieux partager ton problème initial, sur lequel on peut t'aider, plutôt que des inégalités plus suspectes ou inutiles les unes que les autres dont on ne sait pas comment elles ont été construites, non ?
Ceci dit, voici ce que je calcule :
On part de $\displaystyle \int_{r}^1 |(\frac{k\pi}{\omega}-1) s^{-\frac{k\pi}{\omega}}r^{\frac{k\pi}{\omega}-2} - (k-1) s^{-k}r^{k-2}| s ds.$
On change la variable avec $t=s/r$ et on a donc :
$\displaystyle \int_{1}^{1/r} |(\frac{k\pi}{\omega}-1) t^{-(\frac{k\pi}{\omega}-1)} - (k-1) s^{-(k-1)}| dt \leq \int_{1}^{+\infty} |(\frac{k\pi}{\omega}-1) t^{-(\frac{k\pi}{\omega}-1)} - (k-1) s^{-(k-1)}| dt$ où on a majoré en se débarrassant de la borne en $1/r.$
Puis on écrit :
$\displaystyle (\frac{k\pi}{\omega}-1) t^{-(\frac{k\pi}{\omega}-1)} - (k-1) s^{-(k-1)} = (x-1)t^{-(x-1)}\mid_{x=k}^{\frac{k\pi}{\omega}} = \int_{k}^{\frac{k\pi}{\omega}} dx {1-(x-1) \ln t \over t^{x-1}}$
On a donc :
$\displaystyle ... \leq \int_{1}^{+\infty} dt \int_{k}^{\frac{k\pi}{\omega}} dx t^{1-x}$ car $(x-1) \ln t \geq 0$ pour $x \geq k \geq 3$ et $t \geq 1.$
On calcule alors :
$\displaystyle ... \leq \int_{k}^{\frac{k\pi}{\omega}} dx \int_{1}^{+\infty} dt t^{1-x} = \int_{k}^{\frac{k\pi}{\omega}} dx {t^{2-x} \over 2-x}\mid_{1}^{+\infty} = \int_{k}^{\frac{k\pi}{\omega}} dx \frac{1}{x-2} = \ln(x-2) \mid_{k}^{\frac{k\pi}{\omega}} = \ln({\frac{k\pi}{\omega}-2 \over k-2}).$
Et comme $\displaystyle {\frac{k\pi}{\omega}-2 \over k-2} = \frac{\pi}{\omega} + (\frac{2\pi}{\omega} -2) \frac{1}{k-2} \leq \frac{\pi}{\omega} + (\frac{2\pi}{\omega} -2) $ car $\displaystyle k \geq 3$ et $\displaystyle (\frac{2\pi}{\omega} -2) \geq 2-2 = 0.$
On a donc montré que :
$\displaystyle \int_{r}^1 |(\frac{k\pi}{\omega}-1) s^{-\frac{k\pi}{\omega}}r^{\frac{k\pi}{\omega}-2} - (k-1) s^{-k}r^{k-2}| s ds \leq \ln(\frac{3\pi}{\omega} -2) .$
Il est facile d'établir que :
$\displaystyle \ln(\frac{3\pi}{\omega} -2) \leq C(\pi-\omega)$ avec $\displaystyle C \geq \frac{6}{5\pi}.$
Pour ceci, on étudie la fonction $\displaystyle \omega \mapsto C(\pi-\omega) - \ln(\frac{3\pi}{\omega} -2)$ dans son domaine de définition : $\omega$ est dans $\displaystyle [\frac{2\pi}{3}, \pi].$ Comme cette fonction s'annule en $\displaystyle \omega = \pi$, et qu'elle est définie et continue sur cet intervalle, alors il suffit que la dérivée soit négative pour démontrer l'inégalité.
La dérivée est négative si $\displaystyle \frac{3\pi}{\omega^2} - C(\frac{3\pi}{\omega}-2) \leq 0$ ou encore $\displaystyle C \geq {\frac{3\pi}{\omega^2} \over \frac{3\pi}{\omega}-2} \geq \frac{3\pi}{\omega^2} \frac{2}{5} \geq \frac{6}{5\pi}.$
On a donc démontrer que :
$\displaystyle \int_{r}^1 |(\frac{k\pi}{\omega}-1) s^{-\frac{k\pi}{\omega}}r^{\frac{k\pi}{\omega}-2} - (k-1) s^{-k}r^{k-2}| s ds \leq \ln(\frac{3\pi}{\omega} -2) \leq C(\pi-\omega)$ avec $\displaystyle C \geq \frac{6}{5\pi}.$
Ajouté :
Une autre méthode plus rapide est d'écrire :
$\displaystyle ... \leq \int_{1}^{+\infty} dt (x-1)t^{-(x-1)}\mid_{x=k}^{\frac{k\pi}{\omega}} = (x-1) {t^{2-x} \over 2-x} \mid_{t=1}^{+\infty}\mid_{x=k}^{\frac{k\pi}{\omega}} = {x-1 \over x-2}\mid_{x=k}^{\frac{k\pi}{\omega}} = \frac{1}{k\frac{\pi}{\omega}-2}- \frac{1}{k-2} \leq \frac{3}{5\pi} (\pi-\omega).$
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