Continuité en Terminale ES

Pour la première année, j'ai des Terminale ES et le chapitre sur la continuité me pose problème. La continuité n'y est "définie" que graphiquement sur un intervalle. Aussi, avec cette "définition", un élève pourrait affirmer que la fonction partie entière est continue sur $[0;1[$. Que répondre à un tel élève ?

Réponses

  • La vie est dure quand les programmes sont débiles :-D (Ne t'inquiète pas, personne n'a de réponse, tu n'es pas le seul)

    http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_8_men/98/2/mathematiques_ES_L_195982.pdf
    programme a écrit:
    On se limite à une approche intuitive et on
    admet que les fonctions usuelles sont
    continues par intervalle.
    La propriété des valeurs intermédiaires est
    présentée graphiquement ; on convient que
    les flèches obliques d’un tableau de
    variation traduisent la continuité et la stricte
    monotonie de la fonction sur l’intervalle
    considéré.
    On admet qu’une fonction dérivable sur un
    intervalle est continue sur cet intervalle.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • La fonction partie entière est bien continue sur [0,1[.

    Quel est le problème ?
  • @Nîmes-man : si on parle de la même application, elle n'est tout de même pas très continue en $0$ ! Sa restriction à $[0,1[$ est par contre continue.
  • En effet, j'avais en tête la restriction, je bats ma coulpe et en retraite.
  • Euh, non, c'est bien Nîmes-man qui avait raison.
    La fonction partie entière est bien continue sur $[0,1[$.

    La continuité sur un ensemble s'entend toujours au sens de la topologie induite.
  • Effectivement, je me suis trompé. Merci aléa !

    Ainsi l'indicatrice de $\Q$ (vu comme application de $\R$ dans $\R$) est continue sur $\Q$ et sur $\R \setminus \Q$ mais elle n'est continue en aucun point :-). Il faut faire attention avec cette terminologie !
  • Merci, j'en prends bonne note.
  • En général, les propriétés importantes de l'analyse réelle sont traitées le plus visuellement possible dans le secondaire et l'apparition des définitions formelles tend à se faire de plus en plus tardive. Cela revient un peu à adopter une vision naïve de l'analyse qu'on n'avait même plus au XVIIIème siècle.
  • Je confirme, la définition est intuitive et par ailleurs, on ne demandera jamais d’utiliser une fonction non continue, les élèves se contenteront de l’affirmer.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Heu...

    Définition : une fonction de E dans F est continue en un point x de E si bla-bla-bla $\epsilon$ bla-bla-bla $\delta$...

    Définition : X un ensemble inclus dans E
    On dit qu'une fonction f de E dans F est continue sur X lorsque f est continue en tout point de X.

    Me trompe-je ?
  • D'après aléa non, continue sur $X$ signifierait dont la restriction à $X$ est continue, j'aurais plutôt pensé ça mais en fait il faudrait une référence pour vérifier...
  • Intuitivement, je dirais plutôt comme aléa alors que la définition donnée par Dom me semble de peu d'intérêt (no offence).
  • La courbe représentant la fonction de Juan se trace sans lever la craie, la fonction est donc continue sur [0;1[, selon la définition de Tes.
  • J'avoue être dans l'embarras...
    Cependant, considérer une restriction revient à changer de fonction, et cela m'étonne un peu (sans m'offenser ;-)).
  • Oui mais ta définition consiste à dire que $X$ est inclus dans l'ensemble des points de continuité de $f$. Quelle est la valeur ajoutée de cela ?
  • Naivement,
    Je considère une fonction f de E dans F.
    On peut étudier sa continuité.
    Si elle est continue "partout" - i.e. en tout point de E, son domaine - on dira qu'elle est continue (on ne précise pas nécessairement "sur E").
    Si elle n'est pas continue, elle peut être continue en quelques points. Le sous ensemble des points de continuité est noté X.
    Dans ce cas, elle n'est pas continue mais est continue sur X.

    Pas de valeur ajoutée, une définition, c'est tout.
    Disons que la définition servirait à définir la continuité "sur un ensemble" au lieu de dire à chaque fois "en tout point de cet ensemble". J'admets que c'est pauvre.
    Je reste dubitatif quant on fait qu'on changerait la fonction (en parlant de restriction), et qu'on parle de topologie induite avant même de définir la continuité sur un ensemble, dans un cours.

    Cela dit, je n'affirme rien.

    Je vais chercher dans quelques bibles.
  • Il est clair que, qui qui ait raison, si l'ambiguité survient, c'est à l'auteur de préciser ce qu'il dit.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Résumons. On se donne $f:E\to F$ une application entre deux espaces topologiques. On se donne $A \subset E$. On s'intéresse à deux notions :
    1) L'application $f$ est continue en tout point de $A$.
    2) La restriction de l'application $f$ à $A$ est continue.
    Laquelle des deux abrège-t-on par « $f$ est continue sur $A$ » ? La deuxième, car elle est plus longue ! C'est, si j'ai bien compris, l'argumentation de remarque :-).

    Je n'ai pas vu la notion « continue sur » dans Bourbaki (mais je n'ai regardé que rapidement). Elle apparaît par contre dans le Ramis-Deschamps-Odoux avec le sens donné par Aléa. De mon côté, je pense que je n'utilise tout simplement pas cette expression, ce qui ne m'a pas empêché de lui attribuer sans réfléchir un certain sens quand je l'ai vu écrit. Ça craint ! Il faut que je me trouve un châtiment adapté. Lire du Bogdanov peut-être ?
  • ((H)) écrivait:
    > 1) L'application $f$ est continue en tout point de $A$.
    > 2) [size=x-small]La restriction de l'application $f$ à $A$ est continue.[/size]
    > Laquelle des deux abrège-t-on par « $f$ est continue sur $A$ » ? La deuxième, car elle est plus longue ! C'est, si j'ai bien compris,
    > l'argumentation de remarque :-).

    Absolument, quoique c'est discutable au vu de qui précède.
  • La raison pour laquelle la "continuité sur" est la continuité de la restriction vis-à-vis du sous-espace induit est que c'est ça qui est important dans les propriétés et les théorèmes: l'espace et la continuité de la fonction définie sur cet espace. (par exemple, pas besoin de dire que la fonction caractéristique de $\mathbb{Q}$ est continue en tout point de $\mathbb{Q}$ pour justifier que la composée à droite par $id_{\mathbb{Q}}$ est continue)

    Mieux vaut réserver la formulation la plus longue (continue en tout point de) au phénomène le moins important.
  • Et bien je ne trouve aucune source qui parle de continuité sur un sous-ensemble (strict) de l'ensemble de définition de la fonction.
    Ainsi, la locution "continue sur" est réservée à l'ensemble de définition de la fonction.

    En conséquence, quand on dit "continue sur" un autre ensemble, il faut considérer que l'ensemble est celui de définition, et donc on doit reconsidérer la fonction en considérant la restriction à l'ensemble.

    Jusqu'à preuve du contraire (une source éventuellement) c'est bien @remarque qui est dans le vrai.
    Ceci étant ce n'est pas tellement pour une question de valeur ajoutée mais, par défaut de définition, qu'on choisit celle-ci.
    En effet, ce que j'évoquais ne sert pas à grand chose mais pensait que ça existait.

    Merci pour cette discussion.


    P.S.: pardon pour avoir été pour beaucoup dans la "déviation" du fil de départ.
  • Le choix de la définition est un peu arbitraire mais il faut bel et bien donner une définition si on choisit d'utiliser cette expression (on fait des maths, tout de même !). Comme dit plus haut, ça apparaît par exemple dans le Ramis-Deschamps-Odoux.
  • Est-ce que la fonction partie entière est considérée comme usuelle en terminale es ?
    Si la réponse est NON à cette question, on contourne le problème.
  • Oui, en tout cas il est hors de question de soulever ce lièvre en terminale.
    Même en L2, qui comprendra le paragraphe :
    La fonction partie entière, $E$, définie sur $\R$ à valeurs dans $\R$ n'est pas continue sur $\R$.
    Cependant on peut dire qu'elle est continue sur $[0;1[$ mais pas en tout point de $[0;1[$.


    Quelques aspirines et le tour est joué.
  • La fonction partie entière, E, définie sur R à valeurs dans R n'est pas continue sur R.
    Cependant on peut dire qu'elle est continue sur [0;1[ mais pas en tout point de [0;1[.
    Là justement tu as la réponse exacte à la question qui s'était posée ! C'est exactement ce qu'on se demandait. ''sur'' c'est la restriction et ''en tout point de'' c'est des points où la fonction est continue.
  • Pour en revenir au désespoir de Juan, ne t'inquiète pas, les programmes sont truffés d'incohérences et de choses parfois carrément fausses (j'avais donné des exemples sur le forum). Mais ceci est dû avant tout au fait qu'ils sont écrits à la va-vite*** sans être relus (à part pour l'orthographe, j'imagine). Par contre, le coup du "on en parle mais on ne définit pas la continuité" c'est hélas volontaire.



    *** exemple page 6 de
    http://cache.media.education.gouv.fr/file/30/52/3/programme_mathematiques_seconde_65523.pdf
    où l'auteur tapant à toute vitesse ne s'aperçoit pas qu'il n'y a aucun système à résoudre quand les droites sont définies comme demandé
    programme a écrit:
    C'est l'occasion de résoudre des systèmes linéaires

    On voit ça tout le temps. Ne les prends pas au sérieux.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • On aurait alors une propriété :

    Propriété : les deux définitions La définition de "continue sur" et la notion "continue en tout point de" coïncident si le sous ensemble (strict) considéré est un ouvert de l'ensemble de définition de la fonction.


    @BlueBerry
    Oui, je me mettais à la place d'un étudiant qui est encore en apprentissage de cette notion.

    @christiophe c
    Et bien en effet mais cela dépend de ce qu'ils veulent dire par résoudre un système.

    Si j'ai bien compris on définit deux droites respectivement sous la forme y=ax+b et y=mx+p.
    Trouver le point d'intersection est bien "traduisible" en trouver (s'il en existe) le ou les couples (x;y) qui vérifient les deux équations.
    En ce sens, c'est bien "résoudre un système linéaire", non ? (Deux équations - lineaires - (et deux inconnues)).
    Même sans écrire d'accolades, n'est-ce pas un système que l'on résout ? (Par substitution d'ailleurs).

    On est d'accord que ce qui est souvent sous-entendu dans "résoudre un système linéaire", c'est d'utiliser des combinaisons linéaires (voire utiliser la méthode du pivot de Gauss).
    Ici les méthodes de 4eme suffisent, j'en conviens.
    Mais peut-être ai-je mal compris ce que tu soulignes de peu sérieux dans cette page.

    Cependant, sur le fond, c'est certain que les concepteurs et les rédacteurs (et les "rélecteurs") des programmes n'ont plus tellement de crédibilité.
  • "Officiellement" on peut considérer comme un système la recherche des $(x,y)$ tels que $y=2x+3$ et $y=5x-1$. Mais il parait évident que l'auteur s'est juste fourvoyé parce que a bâclé son propos: il ne pensait pas à ce système.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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