aide exo paramétrique

Salut je suis bloqué sur un exo de paramétrique.
voilà l'énoncé:

Le plan euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,i,j)$. Pour tout $\theta\in\R$, on définit un autre repère orthonormé direct $(O,u(\theta),v(\theta))$, qu'on appelera $R_\theta$,par:
$u(\theta)=\cos(\theta)i+\sin(\theta)j$
$v(\theta)=-\sin(\theta)i+\cos(\theta)j$
soit a un réel positif. Pour tout $\alpha \in ]-\pi/2,\pi/2[$, on définit $\rho_{\alpha}(\theta)=\frac{a}{\cos(2\theta)-\tan(\alpha).\sin(2\theta)}$ et $\overrightarrow{OM}_{\alpha}(\theta)=\rho_{\alpha}(\theta)$.$\overrightarrow{u(\theta)}$ et on appelle $C_{\alpha}$ la courbe décrite par $M_{\alpha}(\theta)$ quand $\theta$ parcourt $\R$

1)Montrer que $\rho_{\alpha}(\theta)=\cos(\alpha).\rho_0(\theta +\alpha /2)$
En déduire l'existence d'une similitude directe $f$ telle que $f(C_0)=C_{\alpha}$

2)Par quelle transformation simple passe-t-on de $M_{\alpha}(\theta)$ à $M_{\alpha}(\theta+\pi/2)$?

3)Soit $\theta_0$ un réel fixé.
a)Montrer qu'il existe au plus un réel $\alpha_0 \in ]-\pi/2,\pi/2[$ pour lequel $M_{\alpha_0}(\theta_0)$ n'est pas défini.
b)On appelle $D_{\alpha}(\theta_0)$ la tangente à $C_{\alpha}$ en $M_{\alpha}(\theta_0)$ pour $\alpha \neq \alpha_0$. Montrer que les droites $D_{\alpha}(\theta_0)$ passent par un point $P(\theta_0)$, indépendant de $\alpha$. On "travaillera" dans $R_{\theta_0}$ et on précisera les coordonnées de $P(\theta_0)$ dans $R_{\theta_0}$.

4)Lorsque $\theta$ parcourt $\R$, le point $P(\theta)$,défini ci-dessus, décrit une courbe $\Gamma$.
Vérifier que la tangente en $P(\theta)$ à $\Gamma$ est dirigée par $\overrightarrow{u(\theta)}$ pour tout $\theta$,donc qu'elle est parallèle à $\overrightarrow{OM}_{\alpha}(\theta)$.

5)Pour quelles valeurs de $\theta$, $P(\theta)$ est-il un point stationnaire de $\Gamma$? Pour ces valeurs de $\theta$,étudier les positions des points $P(\theta)$ et $M_{\alpha}(\theta)$.

Voilà ce que j'ai trouvé si sa peut vous aidez à me débloquer (c'est la 3eme qui m'embete car je ne peut pas faire la 4 et la 5 sans celle-ci)

1)similitude de rapport $\cos(\alpha)$ de centre 0 et d'angle $-\alpha/2$

2)rotation d'angle $-\pi/2$

3)a)$\alpha_0=-2\theta_0 -\pi/2 +k\pi$ d'où le résultat.
b)j'ai essayé en paramétrique sa me donne des équations de fou que je n'arrive pas à résoudre(j'ai pris un $\alpha_1$ et un $\alpha_2$ en essayant de les éliminer en écrivant les équations de tangentes mais sa na rien donné).
Et en polaire j'ai essayé avec les $\rho(\theta)$ et $\rho'(\theta)$ mais sa na rien donné non plus.

Merci de vos réponses.