Q-module à gauche

silversky · September 2015

Bonsoir,

je souhaiterais montrer que si on a sur un groupe $M$ abélien une structure de $\mathbb{Q}$-module à gauche, celle-ci est unique. Je suppose donc qu'on a 2 lois externes $\times_1$ et $\times_2$ sur $M$, on a alors pour $q$ non nul et $m \in M$ :

$m = \frac{1}{q} \times_1 m + \hspace{0.1cm}... + \frac{1}{q} \times_1 m = \frac{1}{q} \times_2 m + \hspace{0.1cm} ... + \frac{1}{q} \times_2 m$

Je n'arrive pas à en déduire que $\frac{1}{q} \times_1 m = \frac{1}{q} \times_2 m$, je loupe quelque chose de sûrement très simple...

Merci d'avance

GreginGre · September 2015

Déjà, on dit plutôt $\Q$-espace vectoriel dans ce cas ;-).

Au lieu de démarrer avec deux structures, tu peux plutôt commencer à te demander ce qu'est $m.x$ pour $m\in\Z$.

silversky · September 2015

Je sais qu'on a pour $M$ une unique structure de $\mathbb{Z}$-module à gauche qui s'explicite, c'est comme ça que j'obtient mes décompositions de $m$ ci-dessus :-)

Malgré ça il me manque quelque chose pour conclure...

GreginGre · September 2015

Suppose que tu as une structure de $\Q$-e.v. Alors,pour tout $q\in\Z$ non nul fixé, tout $x\in M$ s'écrit de manière unique sous la forme $x=q\cdot y$, et l'unique solution est $\frac{1}{q}x$.

Comme tu n'as pas le choix pour $q\cdot z$, $z\in M$, tu n'as pas non plus le choix pour $\frac{1}{q}\cdot x$.

Q-module à gauche

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