Taille d'espaces

christophe c
christophe c
dans Topologie
Soit $(E,T)$ un espace topologique. Il est dit bleu (pour ce post) quand il existe une application $\phi $ de $T$ dans $\N$ telle que pour tous $U,V$ dans $T$ si $U\cap V=\emptyset$ alors $\phi(U)\neq \phi(V)$.

Question: y a-t-il une limite de cardinal qu'un espace topologique bleu et séparé ne peut pas dépasser?

(Formellement, existe-t-il un cardinal $c$ tel que pour tout $(E,T)$ espace topologique bleu et séparé $card(E)\leq c$? )

edit: remplacer pour tous $U,V$ dans $T$ par pour tous $U,V$ non vides dans $T$
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Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Salut
    Pourquoi penses-tu qu'un espace bleu est de Cardinal fini?
    edit $\N$ muni de sa topologie discrète n'est pas bleu?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • GreginGre
    GreginGre
    @gebrane0: Christophe n'a jamais dit que $c$ était fini. Y a pas que les cardinaux finis dans la vie ...

    @cc: $T$ est-elle séparée ou pas ? ça n'apparait dans la première formulation de la question, masi c'est supposé dans la seconde entre parenthèses.
  • Siméon
    Siméon
    Il n'existe pas d'espace topologique bleu puisqu'on devrait avoir $\phi(\emptyset) \neq \phi(\emptyset)$.
  • JLT
    JLT
    L'application $\phi$ devrait être définie sur l'ensemble des ouverts non vides.

    Remarque : si l'espace admet une partie dénombrable dense alors il est bleu.
  • ccnc
    ccnc
    Tout d'abord pardon pour ma réponse tardive.

    Tu as raison Siméon, j'aurais dû préciser que $\phi$ est définie seulement sur les ouverts non vides

    @greg pour définir le mot "bleu" je n'ai pas besoin de la notion de séparation, par contre la question ne concerne bien sûr que les espaces séparés (un espace grossier est toujours bleu)

    @gebrane: Greg t'a répondu
  • ccnc
    ccnc
    Remarque : si l'espace admet une partie dénombrable dense alors il est bleu.

    Hélas s'il y a un dénombrable dense, l'espace ne dépasse pas $2^{2^\N}$
  • JLT
    JLT
    Considérons les propriétés suivantes :

    (B1) $E$ contient une famille non dénombrable d'ouverts non vides deux à deux disjoints
    (B2) $E$ contient une partie discrète non dénombrable
    (B3) $E$ n'est pas bleu

    Alors (B1) implique (B2) et (B3). Est-ce que déjà on sait si tout espace séparé assez gros satisfait (B2) ? Voire (B1) ?
  • Mattar
    Mattar
    Pour tout cardinal $\kappa$, $2^\kappa$, avec la topologie produit, satisfait $\neg B1$.
  • JLT
    JLT
    Peut être une idée : pour tout point a et tout voisinage ouvert U de a, soit f(U) l'ensemble des $\phi(V)$ lorsque V est un ouvert inclus dans U contenant a. Alors f(U) décroît lorsque U rétrécit, donc tout point a définit un filtre F(a). De plus si a et b sont distincts alors F(a) et F(b) n'ont pas de point adhérent commun dans le compactifié de Stone Cech de $\N$.

    J'espère ne pas trop délirer, il se fait tard.
  • christophe c
    christophe c
    @JLT bravo tu mets une injection de n'importe quel espace séparé bleu dans l'ensemble des filtres sur IN
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  • christophe c
    christophe c
    La question similaire à propos de la propriété de Mattar subsiste:

    existe-t-il un cardinal $c$ qui dépasse le cardinal de tout espace séparé dont toute partie discrête est dénombrable?
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  • christophe c
    christophe c
    J'ai une preuve (non triviale) que pour tout cardinal $c$, il existe un cardinal $d$ tel que tout espace séparé de cardinal $>d$ contient un ensemble discret de cardinal $>c$.

    Je ne poste pas de solution pour laisser chercher ceux qui ont envie de s'amuser.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • zephir
    zephir
    Bonjour Christophe,
    Est-ce que ta solution consiste à plonger un espace séparé dans un Banach ?
  • christophe c
    christophe c
    Non, je n'ai pas essayé ça
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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