topos

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Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Une variante : il est facile de voir que si la flèche $A\to A^A$ qui vient par adjonction de la première projection $A\times A\to A$ est un isomorphisme, alors $A$ est terminal.
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour cet exercice j'ai un petit truc à faire avant et je l'attaque.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je note $f$ la flèche de $A\to A^A$ telle que $\pi_1 = ev \circ <f\pi_1,\pi_2>$ et elle est supposée être un isomorphisme, donc elle a une flèche inverse $g$ telle que $f\circ g=1_{A^A}$ et $g\circ f=1_A$. La flèche $g:A^A\to A$.

    On a vu dans le fil avant que $ev \circ <f\circ g\circ \pi_1, \pi_2> = g\circ \pi_1:A^A\times A\to A$. Il s'ensuit que $ev\circ <\pi_1,\pi_2>=g\circ \pi_1$, c'est à dire $ev = g\circ \pi_1$ car $<\pi_1,\pi_2> = 1_{A^A\times A}$

    Soit $h: A\to A^A$ telle que $ev\circ <h\circ \pi_1,\pi_2>=\pi_2$. On a donc $\pi_2 = g\circ \pi_1 \circ <h\circ \pi_1,\pi_2> = g\circ h\circ \pi_1$

    Cela nous donne une flèche $k:A\to A$ telle que $\pi_2 = k\circ \pi_1$. Soient alors $u,v$ deux flèches de $X\to A$. On obtient $u=\pi_1\circ <u,v>$ et $v=\pi_2\circ <u,v>=k\circ \pi_1\circ <u,v>=k\circ u$. Il s'ensuit que toute flèche de $X\to A$ est égale à $k\circ u$. Il y a donc au plus une flèche de $X\to A$.

    Il reste à voir qu'il y en a au moins une. Il suffit de prouver qu'il y a une flèche de $1\to A$. Or il y a une flèche de $1\to (A^A)$ et il suffit de la composer avec $g:A^A\to A$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    En langage interne, l'hypothèse s'écrit $ \exists ! a::A\ \forall x::A\ x=a$.
    Prenons pour $a : 1\to A$ la composée la flèche "nom de l'identité" : $1\to A^A$ avec ton $g : A^A\to A$. Yaka suivre les flèches pour montrer que le composé de $A\to 1$ avec $a$ est l'identité de $A$, ce qui montre que $A$ est terminal.

    Edit : c'est plutôt une conséquence de l'hypothèse. Pour de vrai, l'hypothèse s'écrit : $ \forall f :: A^A\ \exists ! a::A\ \forall x::A\ f(x)=a$
  • christophe c
    christophe c
    J'essaie de répercuter:

    Donc tu appelles $a$ la flèche de $1\to A^A$ telle que $p = ev\circ <a\circ \pi_1, \pi_2>$ où $1\times A\xrightarrow{p} A$ est la deuxième projection. La composée $g\circ a: 1\to A$.

    On obtient $g\circ a\circ <>: A\to A$. Si je compose à gauche avec $f$, ça me donne $a\circ <>: A\to A^A$

    non, je n'arrive à transcrire ce que tu suggères. Je poste et continue d'y réfléchir pour voir les posts.

    edit: j'ai appelé $g\circ a$ ce que tu appelles $a$.
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  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Si tu changes les noms, c'est plus compliqué de comprendre.
  • christophe c
    christophe c
    J'ai juste lu trop vite et donné le nom $a$ au "nom de l'identité", donc du coup, j'ai bien compris que tu disais que $g\circ a\circ <> = 1_A$. Mais je n'arrive pas à le prouver (facilement).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Si on s'inspire en mettant des variables, ça donne:

    $f(x)(y)=x$

    $g(a) = f(g(a))(y)= a(y)=y$

    Je "copie":

    $g\circ a \circ \pi_1= ev \circ <f\circ g\circ a \circ \pi_1,\pi_2> = ev \circ <a\circ \pi_1,\pi_2> = \pi_2: 1\times A\to A$
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  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Par définition de $a$, $$
    \xymatrix{1\ar[r]^a& A\ar[r]^f & A^A} = \xymatrix{ 1\ar[r]^-{\ulcorner \mathrm{Id}\urcorner} & A^A}$$
    d'où par adjonction $$
    \xymatrix{A\simeq 1\times A\ar[r]^-{a\times A}& A\times A\ar[r]^-{\pi_1}& A} = \xymatrix{ A\ar[r]^{ \mathrm{Id}} & A}
    $$ et comme $$
    \xymatrix{1\times A\ar[r]^{a\times A}\ar[d]_{\pi_1}& A\times A\ar[d]^{\pi_1}\\ 1\ar[r]_a &A}
    $$ commute ...
  • christophe c
    christophe c
    Et effectivement ça marche $g\circ a\circ \pi_1\circ <<>, 1_A>=1_A$ donc $g\circ a\circ <> = 1_A$
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  • christophe c
    christophe c
    Je n'arrive vraiment pas à lire les diagrammes!!! Et je n'ai pas encore le niveau pour comprendre "d'où par adjonction".

    Par contre, je m'en suis sorti en utilisant le langage interne. Mais j'ai utilisé le lemme (déjà prouvé dans le fil) $ev\circ <f\circ x\circ \pi_1, \pi_2>=x\circ \pi_1$
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  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'adjonction remplace avantageusement les lourdingueries de composition avec ev, et dit en fait la même chose en plus lisible.
  • christophe c
    christophe c
    Je vais essayer de reprouver pour moi-même et proprement que si
    $$\pi_1 = ev \circ <f\circ \pi_1, \pi_2> $$ où $f:A\to B^A$
    Alors si $g:C\to A$ alors $ev\circ <f\circ g\circ \pi_1, \pi_2> = g\circ \pi_1$

    En "langage interne", ça dit que si $\forall x\in A,y\in B: f(x)(y)=x$ alors $\forall z\in C, y\in B: f(g(z))(y)=g(z)$

    Je vais prendre mon temps, sans relire les posts où on le traite.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    En lisant le langage interne, on voit qu'il y a une flèche $<g\circ \pi_1, \pi_2>$ qui va de $C\times B\to A\times B$. En composant avec la flèche $<f\circ \pi_1, \pi_2>$, puis avec $ev$ on obtient $ev \circ <f\circ \pi_1, \pi_2> \circ <g\circ \pi_1, \pi_2>$.

    Or on sait que $ev \circ <f\circ \pi_1, \pi_2> = \pi_1$. Donc

    $$ ev \circ <f\circ \pi_1, \pi_2> \circ <g\circ \pi_1, \pi_2> = \pi_1 \circ <g\circ \pi_1, \pi_2>=g\circ \pi_1$$

    Il suffit donc de prouver $<f\circ \pi_1, \pi_2> \circ <g\circ \pi_1, \pi_2> = <f\circ g\circ \pi_1,\pi_2>$

    On a : $\pi_1 \circ <f\circ \pi_1, \pi_2> \circ <g\circ \pi_1, \pi_2> = f\circ \pi_1 \circ <g\circ \pi_1, \pi_2> = f\circ g\circ \pi_1$

    Le côté des deuxièmes projections étant évident, $<f\circ \pi_1, \pi_2> \circ <g\circ \pi_1, \pi_2>$ est bien la seule flèche $h$ (aussi appelée $<f\circ g\circ \pi_1,\pi_2>$) telle que $\pi_1\circ h = f\circ g\circ \pi_1$ et blabla. cqfd. OUF!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Mouais, je crois que je viens de faire la preuve qu'on peut prolonger $X\mapsto A\times X$ en un foncteur.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    L'adjonction remplace avantageusement les lourdingueries de composition avec ev, et dit en fait la même chose en plus lisible.

    probablement à condition de savoir que $X\mapsto A\times X$ se prolonge en un foncteur**. Ce qui n'était pas évident pour moi tant que je ne l'avais pas fait semble-t-il.

    ie si $U\xrightarrow{f} V\xrightarrow{g} W$ alors $1_A\times (g\circ f) = (1_A\times g)\circ (1_A\times g)$ où $h\times k$ désigne $<h\circ \pi_1,k\circ \pi_2>$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est $f : A\to A^B$.
    Tu es en train de te débattre avec l'adjonction entre le foncteur $\cdot \times B$ et le foncteur $(\cdot)^B$, avec toute la pénibilité qui vient du fait que tu n'utilises pas la technologie ad hoc mise au point par les catégoriciens.

    Ici :
    $$\begin{array}{ccccc}C&\longrightarrow&A&\longrightarrow&D^B\\ \hline C\times B&\longrightarrow& A\times B &\longrightarrow& D\end{array}$$
  • christophe c
    christophe c
    J'en suis bien conscient. Je vais me remettre à lire le Prouté (qui semble couvrir pas mal cette technologie). Mais entre temps, je m'essayais aussi à faire quelques petits exos triviaux pour les autres et pas pour moi, parce que juste lire est un procédé passif. Je pense avoir progressé justement en visitant ces "trivialités". Après avoir lu Prouté cet été j'avais une vision globale mais n'était entré dans aucun détail.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour ton schéma. J'ai maintenant bien compris qu'il résume les posts d'avant.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    pour les autres et pas pour moi
    Justement, il vaudrait cent fois mieux pour "les autres" comprendre ce qu'est une adjonction plutôt que de se plonger dans tes exercices. Bon, de toutes façons, je doute que qui que ce soit le fasse.
  • christophe c
    christophe c
    C'est clair :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Voici des questions peut-être un peu plus profondes que mes exos d'entrainement triviaux.

    Voici 3 façons d'exprimer "l'axiome du choix" dans les CCF. La question est de savoir lesquelles entrainent lesquelles.

    Façon1, la plus bête: pour tout épimorphisme $X\xrightarrow{~f~} Y$, il existe $g: Y\to X$ tel que $f\circ g = 1_Y$

    Façon2: soit $f: E\to A\times B$ une flèche telle que $E\xrightarrow{~f~} A\times B \xrightarrow{~\pi_1}A$ est un épimorphisme. Alors, il existe une flèche $g:A\to B$, une flèche $s: A\to E$ tels que $f\circ s = \,<1_A,g>$

    Façon3: soit $L: B^A\to A$. Alors il existe une flèche $a:1\to A$ et une flèche $f: B\to B^A$ tels que $L\circ f = B\to 1\xrightarrow{~a~} A$ et $ev \circ (f\times a) = (B\times 1\xrightarrow{~\pi_1} B)$

    Autre question : parmi ces versions, lesquelles impliquent que pour tous objets $A,B: Hom(A,B)\cup Hom(B,A)\neq \emptyset$ ?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Voici une autre petite trivialité. On est dans une CCF (en fait dans une catégorie avec un objet terminal) et on se demande si "une fonction d'un ensemble "habité" dans $1$ est forcément une "surjection"". Et la réponse est oui. Soit un objet $A$ habité, ie il y a une flèche $u: 1\to A$. Soit alors $f:A\to 1$. Question $f$ est-il épimorphique? Réponse oui: soit $a,b$ deux flèches de $A\to X$ telles que $a\circ f=b\circ f$. On veut prouver que $a=b$. Cela résulte du fait que $a=a\circ f\circ u=b\circ f\circ u=b$ car il n'y a qu'une seule flèche de $1\to 1$, c'est $id_1$ (donc $f\circ u=id_1$).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ccnc
    ccnc
    Bon je suis au taf, mais je pense à un point quand-même que je voudrais éclaircir pour ma culture. On entend dire à la va-vite qu'un objet catégorique n'est défini qu'à isomorphisme près etc. Donc je pose une question formelle.

    Soit $C$ une (petite) catégorie et $\quiv$ la relation d'équivalence définie sur $Ob(C)$ par $(a\equiv b):=(\exists f\in C(a,b): f$ est un isomorphisme$)$.

    $D$ une catégorie telle que $Ob(D)\subseteq Ob(C)$, telle que les flèches entre deux objets de $D$ sont celles entre ces deux mêmes objets dans $C$ et telle que toute classe d'équivalence rencontre $Ob(D)$ en exactement un élément.

    Rigoureusement, $(Ob(C),Fl(C),\circ, =_{Fl(C)})$ est la structure qu'est la catégorie $C$ où le signe égal n'est autorisé qu'entre les flèches. On a de même $D=(Ob(D),Fl(D),\circ, =_{Fl(D)})$.

    Question: $C$ et $D$ sont-elles logiquement équivalentes (on dit aussi élémentairement équivalentes), ie vérifient-elles les mêmes énoncés clos? Si oui, la ressemblance va-t-elle encore plus loin d'une manière à préciser?

    Si la réponse est oui, pour voir si j'ai bien compris, la catégorie ens peut être vu comme constitué des cardinaux uniquement et des applications qui vont des uns dans les autres et c'est un topos "presque" isomorphe à "ens classique"
  • christophe c
    christophe c
    Bon la réponse à ma question du post précédent est hélas non telle qu'elle est posée. Chassez le signe "=", il revient par la fenêtre:

    pour dire que deux objets sont égaux, ils suffit de dire qu'il existe une flèche $f$ dont ils sont tous les deux la cible (ou tous les deux la source). Du coup ça donne envie de trouver une définition logique de ce que deux catégories "équivalentes" (j'ai appris que c'est le mot qui désigne ce que j'ai fait, ie chercher un "squelette" de c) ont de "logiquement" équivalentes.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Une autre question qui me parait amusante. Disons qu'une catégorie est complète (toutes les catégories dont je parle sont petites, y compris les topos, etc) quand pour toute famille $i\in J\mapsto A_i$ d'objets de $C$, il existe un objet de $P$ de $C$, il existe une famille de flèches $p_i: P\to A_i$ tels que pour tout objet $X$ et famille de flèches $q_i:X\to A_i$, il existe une unique flèche $h: X\to P$ telle que $\forall i\in J : q_i=p_i\circ h$.

    Il existe tout plein de CCF complètes (n'importe quelle algèbre de Heyting complète par exemple). Existe-t-il des topos complets non triviaux?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    1) Tu formules mal la complétude. Renseignes toi sur la notion de limite (projective).
    2) Tous les topos de Grothendieck sont complets au sens qu'ils ont toutes les (petites) limites. Ils sont aussi cocomplets.
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour ta réponse*, mais ce n'était pas ma question. J'aurais dû plus insister, ma question est : existe-t-il de petits topos qui sont complets (au sens "complet" que j'ai défini)?

    Je vais aller voir la notion "officielle" de complétude, j'aurais peut-être dû utiliser un autre mot pour ce qui m'intéresse effectivement.

    As-tu une réponse à mon post d'hier (sur ce que préserve l'équivalence de catégories)?

    Merci encore.

    * je savais que les topos de G ont toutes les petites limites.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pas "peut-être", mais "sûrement". Le mot "complet" a un sens bien défini en théorie des catégories. Si tu parles d'autre chose, emploie un autre mot ...
    Pour ce que tu as en tête (l'existence de produits quelconques), à mon avis non : pas de topos avec un objet produit de tous les objets ayant des points. Je n'ai pas de preuve formelle, pas le temps ni vraiment l'intérêt d'y penser maintenant.
  • ccnc
    ccnc
    Merci
  • christophe c
    christophe c
    Ah remarque, sous réserve que toute projection soit un épimorphisme (ça m'invente un bon exercice de débutant que je vais pouvoir faire), le fait que le topos soit CC-complet implique qu'il existe un objet $E$ et un épimorphisme de $E\to P(E)$. Or il me semble que j'ai aperçu dans le Prouté (souvenir vague) en forme d'exercice donné que ça entraine que le topos est trivial. (Ca me fait un deuxième exo de débutant)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    sous réserve que toute projection soit un épimorphisme

    Ca c'est trivialement faux, et il ne suffit pas d'enlever l'objet initial pour que ça devienne vrai. C'est bien pour ça que j'ai pris la précaution de considérer le produit des tous les objets qui ont des points.
  • christophe c
    christophe c
    Merci, heureusement que tu me le dis, j'aurais risqué de passer des heures à essayer de le prouver.

    J'imagine que tu appelles $<< X$ a des points$>>$ la phrase $<<$ il existe une flèche de $1\to X>>$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je fais le premier exo en supposant que $A,B$ ont des points. Soit $\pi_1:A\times B\to A$.

    Je cherche une flèche de $f:A\to A\times B$ telle que $\pi_1 \circ f=1_A$. Soit $b:1\to B$ et $h: A\to 1\xrightarrow{b} B$. Aors $<1_A,h>:A\to A\times B$ et $\pi_1 \circ <1_A,h> = 1_A$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ca marche aussi pour des objets de support 1, ceux pour lesquels la flèche dans 1 est un épimorphisme (ce qui est strictement plus faible que d'avoir un point).
  • ccnc
    ccnc
    Merci ça me fait deux exercices pour le métro: celui-ci et le fait que $epimorphisme:E\to P(E)$ => topos dégénéré
  • christophe c
    christophe c
    Après une journée de taf (levé 5h30), j'y ai réfléchi un peu dans le métro, me suis arcbouté sur l'idée de prouver le lemme général suivant dans une CCF, puis ai laissé tomber, trop fatigué.

    question: si on a deux épimorphismes $f:A\to X$ et $g:B\to Y$, la flèche $A\times B\xrightarrow{f\times g} X\times Y$ est un épimorphisme (forcément dans une CCF)?

    Je crains encore que ce soit trop demander (que ce soit faux). J'ai pensé à ça en voulant prendre ensuite comme cas particulier la flèche $A\times B\xrightarrow{1_A\times <>} A\times 1$ et conclure.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il suffit de regarder le cas de $f\times B : A\times B\to X\times B$, où $f$ est épi. Soient $g,h$ deux flèches $X\times B \to Z$ telles que $g\circ (f\times B)=h\circ (f\times B)$. Par adjonction $g,h$ correspondent à $\tilde g, \tilde h : X\to Z^B$ telles que $\tilde g\circ f=\tilde h\circ f$, donc $\tilde g= \tilde h$ puisque $f$ est surjective, donc $g=h$. Ceci prouve que $f\times B$ est épi.
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour ta disponibilité, c'est soulageant d'avoir une réponse avant d'aller au dodo (demain levé 5h30). Dans le métro, je n'arrivais pas à me convaincre (parce qu'encore trop débutant) que g barre = h barre =>g=h, ni que g barre rond f= h barre rond f, mais je redémontrerai ces bases à tête reposée (pour que ça entre et s'imprime dans le marbre)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonne nuit !
  • ccnc
    ccnc
    C'est bon j'ai réussi, je posterai après mes 4H de cours
  • ccnc
    ccnc
    Par commodité (ma mauvaise maitrise du latex), je refais des notations faciles à taper pour moi. J'ai donc un épimorphisme $f: A\to X$. J'ai deux flèches $u,v: X\times B\to Z$. Comme l'a dit GBMZ, il existe une UNIQUE flèche $u^*: X\to Z^B$ telle que $ev\circ (u^* \times 1_B) = u$. Idem pour $v$ avec $v^*$

    On a supposé que $u\circ (f\times 1_B) = v\circ (f\times 1_B)$. Je veux prouver que $u^*\circ f=v^*\circ f$ de quoi on déduit $u^*=v^*$ puis $u=v$.

    Il existe une unique flèche $h$ telle que $ev\circ (h\times 1_B) = u\circ (f\times 1_B)$. Il suffit de prouver que $h=(u^*\circ f)$. Donc il suffit de prouver que $ev\circ ((u^*\circ f)\times 1_B) = u\circ (f\times 1_B)$ qui vaut, on le sait $ev\circ (u^*\times 1_B)\circ (f\times 1_B)$. Or cela résulte du fait que $((u^*\circ f)\times 1_B) = (u^*\times 1_B) \circ (f\times 1_B)$ qui a été prouvé avant.
  • christophe c
    christophe c
    Concernant une énigme précédente dans le fil (non résolue), je crois que ça doit être possible dans un topos de prouver que si $A=B^A$ alors $B$ est terminal (je l'ai fait de tête dans le métro, j'essairai de taper plus tard)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    En fait, non je crois qu'elle ne marche pas et je l'ai de toute façon oublliée. Par contre, j'ai une question "bête". Soit $C$ une (petite) catégorie qui a tous les produits. Est-ce qu'elle a forcément tous les coproduits? (Pour les ordres la réponse est oui).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    J'essaie de faire un exercice énoncé plus haut dans le fil, je crois, et trouvé dans le Prouté (snif, sans correction). Soit $C$ une catégorie telle que $C$ ainsi que $C^{op}$ sont toutes les deux cartésiennes fermées. A montrer que tous les diagrammes de $C$ commutent, ie qu'entre deux objets de $C$ il y a au plus une flèche.

    1/ Dans une CCC, un objet initial, noté $0$, vérifie forcément $0\times 0\equiv 0$. Donc dans $C$, $1+1\equiv 1$.

    2/ Soient $f,g$ des flèches de $1$ dans $B^A$. Il suffit de prouver que $f=g$. On note $U:=B^A$.

    3/ Je suppose que j'ai choisi une somme $1+1$ et deux flèches $u,v$ allant de $1$ vers $1+1$ conformes à la définition de la somme.

    4/ il y a une unique flèche $h:1+1\to U$ telle que $h\circ u=f$ et $h\circ v=g$. Je note $w$ l'isomorphisme $1\to 1+1$ et $w'$ son inverse. Il suffit de prouver que $u=v$.

    5/ On sait que $w'\circ u = w'\circ v = id_1$. On a donc $u=w\circ (w'\circ u) = w\circ (w'\circ v) =v$, CQFD
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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