topos

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Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Je suis probablement fatigué ou le nez sur le guidon ou y a une évidence qui m'échappe mais je n'y arrive toujours pas (pardon)

    Posté de mon téléphone
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu veux montrer que $\xymatrix{C\times B\ar[r]^{g\times B}&A\times B\ar[r]^{f\times B}&A^B\times B\ar[r]^-{\mathrm{ev}}&A}$ est la même flèche que $\xymatrix{C\times B\ar[r]^{g\times B}&A\times B\ar[r]^-{\pi_1}&A}$. Bien entendu le $g\times B$ ne sert à rien, il suffit de voir que $\xymatrix{A\times B\ar[r]^{f\times B}&A^B\times B\ar[r]^-{\mathrm{ev}}&A}$ est la même flèche que $\xymatrix{A\times B\ar[r]^-{\pi_1}&A}$. Par adjonction, ceci revient à montrer que $\xymatrix{A\ar[r]^{f}&A^B\ar[r]^-{\mathrm{Id}}&A^B}$ est la même flèche que $\xymatrix{A\ar[r]^-{f}&A^B}$. Clair, non ?
  • christophe c
    christophe c
    Merci en fait non c'est je crois l'égalité entre les deux flèches précédentes et la flèche

    C × B ---pi1---> C ---g---> A

    J'étais déjà convaincu des égalités de ton post. Mais j'ai l'impression que ça s'eclaircit
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    :-S
  • ccnc
    ccnc
    Ouf de retour sur un pc
    Oui, je cherchais à montrer que $ev \ \circ <f\circ g\circ \pi_1,\pi_2>=g\circ \pi_1$.

    Mais c'est peut-être faux?
  • ccnc
    ccnc
    Je dessine les flèches en latex : $$C\times B\xrightarrow{~\pi_1~} C\xrightarrow{~g~} A$$ $$C\times B\xrightarrow{~(f\circ g)\times 1_B~} A^B\times B \xrightarrow{~ev~} A$$
  • ccnc
    ccnc
    Précision: je cherche à montrer qu'elles sont égales.
  • ccnc
    ccnc
    Pour l'instant je vais admettre que

    la flèche $C\times B\xrightarrow{(f\circ g)\times 1_B} A^B\times B$ est égale à la flèche

    $C\times B \xrightarrow{g\times 1_B} A\times B\xrightarrow{f\times 1_B} A^B\times B$.

    Il me reste donc juste à prouver que

    la flèche $C\times B\xrightarrow{g\times 1_B} A\times B\xrightarrow{\pi_1} A$ est égale à

    la flèche $C\times B\xrightarrow{\pi_1} C\xrightarrow {~g~} A$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je me demande si tu lis vraiment ce que j'écris. Enfin...
    Le diagramme $\xymatrix{C\times B \ar[r]^{g\times B} \ar[d]_{\pi_1}&A\times B\ar[d]^{\pi_1}\\ C\ar[r]_g&A}$ commute par définition de $g\times B$.
    Vraiment, tu te fais des noeuds pas possibles !
  • ccnc
    ccnc
    Merci. Oui je lis**. Et je réfléchis, car chaque "trivialité" pour les gens expérimentés est un exercice pour moi.

    Par exemple, je venais juste de trouver ce que tu viens de me dire juste avant de me reconnecter en fait, car $g\times 1_B$ est une abréviation de $<g\circ \pi_1,\pi_2>$ qui est par définition l'unique flèche $h$ de $C\times B$ dans $A\times B$ telle que $g\circ\pi_1 = \pi_1\circ h$ et $\pi_{2_{C\times B\to B}}=\pi_{2_{A\times B\to B}}\circ h$

    **Mais je suis dyscalculique, je semble me perdre très vite dans tout ça.

    Eh bé, sacrée journée pour moi, entre mes cours et la réflexion sur des "évidences" catégoriques... Demain je m'attaque à la commutativité du diagramme avec $1,k,f$ <ue tu as mis quelques posts avant.
  • ccnc
    ccnc
    Merci à toi AD, pour la mise en forme.
    [À ton service, si tu peux t'en souvenir ... ;-) AD]
  • ccnc
    ccnc
    Je m'attaque à la justification de la commutativité du diagramme de ton post d'hier

    L'objet $1\times B$ est envoyé par $p_2$ dans $B$ et par $k\circ p_1$ dans $A$. Par définition du produit cartésien, il existe unique flèche $h$ nommée $<k,\pi_2>$ et que tu abrèges en $k\times B$ de $1\times B\to A\times B$ vérifiant $\pi_1\circ h=k\circ p_1$ et $\pi_2\circ h=p_2$

    Il suffit donc de justifier que $k\circ <>\circ p_2=k\circ p_1$. Je dessine les flèches:

    On sait que $1\times B\to_{k\times B} A\times B\to_{\pi_1}\to A$ est égale à $1\times B\to_{p_1} 1 \to_k A$

    On veut montrer que c'est égale à $1\times B\to_{p_2}B\to_{<>} 1\to_k A$

    Et cela résulte de manière évidente du fait qu'il n'y a qu'une seule flèche de n'importe quel objet dans $1$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'"abréviation" est en fait la notation du foncteur $\cdot\times B$, dont l'adjoint à droite est le foncteur $(\cdot)^B$.
    Je me répète, mais tu gagnerais de l'aisance en dessinant des diagrammes :
    $$\xymatrix{ &1\times B\ar[ld]_{\pi_2}\ar[r]^{k\times B}\ar[d]^{\pi_1}&A\times B\ar[d]^{\pi_1}\\ B\ar[r]&1\ar[r]_k&A}$$
  • ccnc
    ccnc
    Merci. Tu as probablement raison, mais (en dehors du fait que je ne sais pas les faire sous latex) je n'ai pas encore la maturité pour voir vite la commutativité de diagrammes simples que les entrainés voient tout de suite comme commutatifs.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pour le codage de diagrammes, c'est simple. 
    \xymatrix{ 
 & 1\times B \ar[ld]_{\pi_2} \ar[r]^{k\times B} \ar[d]^{\pi_1} & A\times B \ar[d]^{\pi_1} \\ 
B \ar[r] & 1 \ar[r]_k & A
}
    donne
    $$\xymatrix{
    & 1\times B \ar[ld]_{\pi_2} \ar[r]^{k\times B} \ar[d]^{\pi_1} & A\times B \ar[d]^{\pi_1} \\
    B \ar[r] & 1 \ar[r]_k & A
    }$$
  • christophe c
    christophe c
    Merci


    Maintenant que j'ai un peu progressé, je pense à l'ambition de Prouté qui désirait un monde où il n'y a qu'une seule preuve par théorème. Les catégories cartésiennes semblent l'occasion d'y réfléchir dans le sens suivant:

    N'importe quelle expression $E$ écrite avec la flèche $\Rightarrow$ (je pose que $A\Rightarrow B:=B^A$) et des lettres qui est un théorème intuitionniste (vue comme expression où $\Rightarrow$ veut dire implique) est telle que qu'on peut construire au moins une flèche $1\to E$.

    On peut donc faire l'étude, étant donnée une catégorie $C$ de $\phi(C):E\in Obj(C)\mapsto card(hom_C(1,E))$.

    Bon on sait qu'il existe au moins une catégorie $C$ cartésiennes fermées telle que $\forall E\in Obj(C): $ si $E$ est un théorème intuitionniste alors $\phi(C)(E)=1$ et sinon $\phi(C)(E)=0$. Par exemple une algèbre de Heyting.

    Parmi les théorèmes intuitionnistes, il y a les théorèmes linéaires (ce sont ceux obtenus en appliquant le modus ponens aux deux seules familles d'axiomes $(A\Rightarrow B)\Rightarrow ((B\Rightarrow X)\Rightarrow(A\Rightarrow X))$ et $A\Rightarrow ((A \Rightarrow B)\Rightarrow B)$ )

    Question un peu vague, quand on a un théorème linéaire prouvé linéairement dont la preuve donne une flèche $f_1: 1\to E$ de la catégorie $C$ et une autre preuve du même théorème donnant $f_2: 1\to E$. Supposons que $C=ens$ par exemple. A-t-on des exemples où $f_1\neq f_2$?

    J'essairai de préciser cette question.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    J'essaie de taper un exemple.

    Il y a deux façons de prouver que (A=>B)=>((B=>C)=>(A=>C)).

    1) On suppose A=>B, on suppose B=>C, on suppose A, on "applique A=>B à A ce qui donne B, puis on applique B=>C à B ce qui donne C, puis on abstrait A, puis on abstrait B=>C, puis on abstrait A=>B

    2) On démontre d'abord que (A=>B)=>(A=>((B=>C)=>C)) puis on permute les hypothèses de A et B=>C de (A=>((B=>C)=>C))

    Ca donne deux flèches "canoniques" de $1\to $ (A=>B)=>((B=>C)=>(A=>C))

    Sont-elles égales dans toute CCF? (Il faudrait que j'aie le courage de les décrire, mais ça parait un peu lourd, je vais chercher un exemple plus court)

    Je donne un exemple qui ne marche pas***, ie les deux flèches sont égales, mais qui précise un peu la question.

    Il y a deux façon de prouver (A et B)=>(A et B).

    1) La flèche identité

    2) Supposer A et B, en déduire A, en déduire B, puis "réunir" et obtenir A et B.

    La première flèche est $A\times B\xrightarrow{id_{A\times B}}A\times B$.

    La deuxième flèche est $<\pi_1,\pi_2>$ où $A\times B\xrightarrow {\pi_1}A$ et $A\times B\xrightarrow {\pi_2}B$. Hélas, il se trouve que ces deux flèches sont égales, ie $<\pi_1,\pi_2>=id$

    *** je cherche un exemple simple où deux flèches canoniques données par deux petites preuves différentes d'un même énoncé peuvent être différentes. Le premier exemple est trop compliqué, ce deuxième exemple est un cas d'égalité des flèches.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Les deux projections $A\times A\to A$ donnent deux flèches $1\to(A^A)^A$.
  • christophe c
    christophe c
    Ah meeeerciiiiiiiiiiiiiiiiiiii Effectivement, il suffisait d'y penser!!! Même si cet exemple n'est pas linéaire, je pense qu'on doit trouver des exemples linéaires du même jus. De toute façon le cadre naturel pour la logique linéaire n'est pas tellement les CCF
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Une autre question qui me semble intéressante, mais aussi difficile à exprimer:

    On prend deux expressions E,F écrites avec des "=>" et des lettres. On fabrique deux flèches avec uniquement les projecteurs et les évaluateurs (autrement dit "à la manière du lambda calcul") qui vont de E dans F quand on interprète E,F comme des ensembles et qui sont égales en tant qu'applications de E dans F (quelque soient les valeurs attribuées aux lettres qui composent E,F)

    Est-ce qu'alors ces deux flèches sont égales quand on les voit dans n'importe quelle CCF?

    J'ai un peu l'impression que la réponse est "oui"..
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Et la question incontournable (qui n'a rien à voir, ou pas grand chose avec les précédentes):

    Soit $C$ une CCF et $A,B$ deux objets de $C$ tels que $B^A=A$. $B$ est-il alors forcément un objet final de $C$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    :-S On n'a pas en général $1^A=A$. Voulais-tu écrire $A^B=A$ ?
  • ccnc
    ccnc
    Non, je voulais bien écrire $A=B^A$. Pour les ensembles par exemple, si $E=F^E$ alors $card(F)\leq 1$. Alors que pour tout ensemble $E$, il existe un ensemble $F$ tel que $card(F^E)=card(F)$, et même $F^E\subseteq F$. Donc l'égalité $F^E=F$ n'entraine rien sur $E$. Et pas grand chose sur $F$.

    Le fait qu'on n'ait pas $1^A=A$ n'est pas gênant, dans ce cas la réponse est oui pour le couple $(1,A)$, ie <<si $1^A=A$ alors $1$ est final>>

    Je reformalise ma question: a-t-on dans toute CCF $C$, et pour tous objets $A,B$ si $B^A=A$ alors $B$ est final dans $C$?
  • FoysNC
    FoysNC
    C'est vrai dans des algèbres de Heyting. Mais comment le généraliser.
  • ccnc
    ccnc
    C'est la traduction de la "fameuse" phrase "j'implique Q", qui est telle que P=(P=>Q), donc évidemment dans une CCF où il n'y a qu'au plus une flèche entre deux objets (c'est à dire une algèbre de Heyting), comme il y a une flèche de n'importe qui vers Q, Q est final.

    Dans une CCF quelconque, si $B^A=A$, alors il y a au moins** une flèche de n'importe quel objet vers $B$, mais c'est l'unicité de cette flèche la question.

    ** On a la flèche $ev: A\times A\to B$ donc la flèche $g:=ev\circ \Delta : A\to B$ qui donne une flèche $s:1\to (B^A)$, ie $s:1\to A$, ce qui donne $g\circ s: 1\to B$. Mais est-elle unique?
  • ccnc
    ccnc
    Précision: $\Delta = <1_A,1_A>$, c'est à dire l'unique flèche $h$ telle que $\pi_1\circ h=1_A$ et $\pi_2\circ h=1_A$ dans la def du produit cartésien $A\times A$.
  • ccnc
    ccnc
    Dans les ensembles, si $F^E=E$ alors comme $f:x\mapsto [$ if $x(x)=a$ then $b$ else $a]$ est un élément de $E$, $f(f)=a=b$ ceci valant pour tout $a,b$ dans $F$, donc $card(F)\leq 1$. De plus si $F=\emptyset$, alors $E=\emptyset^E$ et on a une contradiction. Donc $F$ est final (ie $card(F)=1$)
  • ccnc
    ccnc
    Remarque: il y a d'autres manière d'être final ôu initial dans la catégorie ens, par exemple être un objet $A$ tel que $\pi_1=\pi_2$ comme flèches de $A\times A\to A$, mais je n'en parle pas tout de suite, un problème après l'autre pour pas disperser le fil de moult posts sans rapports les uns avec les autres.
  • ccnc
    ccnc
    Peut-être peut-on y arriver en rendant intuitionniste le raisonnement que j'ai fait dans ce fil
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Mouais, il repose pas mal sur le tiers-exclus ....
  • christophe c
    christophe c
    Pour les visiteurs qui risquent d'arriver sur ce long fil, je tape un post "de renseignements" qui n'a rien à voir avec les précédents.

    Dans un autre fil, il y a un post où j'ai mis un document froid et peut-être difficile sur une introduction au topos (telle que je la vis)

    En fait il me semble qu'on peut faire plus simple (toujours sans passer par de très difficiles histoires d'adjonction, de foncteurs, de transformations naturelles). En particulier, il y a des visiteurs qui peuvent être attirés par la réputation des topos de donner lieu à un "langage interne avec lequel on peut faire beaucoup de mathématiques".

    Et bien cette histoire de langage interne n'est pas la partie difficile des topos, et surtout, on en dispose (certes d'une manière un peu baroque) dès qu'on a une catégorie cartésienne fermée.

    Or une catégorie cartésienne fermée c'est vraiment un truc simple. C'est "essentiellement" une catégorie où on peut se donner l'illusion de parler de produits et d'ensemble des fonctions de machin dans truc.

    Je suppose connue la notion de catégorie, mais rien d'autre. Je redonne les définitions du reste pour les visiteurs. Et j'essaie de les amener jusqu'au langage interne en pas trop de lignes.

    Une catégorie $C$ qui a des produits cartésiens est dite cartésienne. Que signifie avoir des produits? Réponse*****: ça veut dire qu'on s'est donné une fonction définie sur $C^2$ , notée lourdement $(A,B)\mapsto (A\times B,\pi_1(A,B),\pi_2(A,B))$ (Généralement on abrège $\pi_1(A,B)$ par $\pi_1$) tel que pour tous objets $A,B$ de $C$, $\pi_1$ est une flèche de $A\times B\to A$, $\pi_2$ est une flèche de $A\times B\to B$ et pour tout triplet $(X,f,g)$ où $X$ est un objet de $C$, $f:X\to A$ et $g:X\to B$, il existe une unique flèche $h$, généralement notée $<f,g>$, telle que $\pi_1\circ h=f$ et $\pi_2\circ h=g$.

    Un objet $1$ est dit final dans $C$ quand pour tout objet $X$ de $C$ il existe une unique flèche notée $<>_X$ ou parfois on la note $<>$, telle que $<>:X\to 1$

    Une catégorie avec des produits et un objet final est dite cartésienne fermée quand elle a des exponentielles. Que signifie ce truc? Réponse: une catégorie $C$ est dotée d'exponentielles quand il existe une fonction définie sur $C^2$ que je note lourdement $(A,B)\mapsto (B^A,ev_{A,B})$ (on omet généralement d'écrire le "A,B" en indice et on note $ev$) telle que pour tous objets $A,B,X$ et toute flèche $f:X\times A\to B$, il existe une unique flèche $h$ telle que $f = ev \circ <h\circ \pi_1, \pi_2>$

    Soit $C$ une catégorie cartésienne fermée et $\Omega$ un objet de $C$. Soit, pour chaque objet $A$ de $C$ une flèche $eq_A:A\times A\to \Omega$. Je raconte vite fait comment associer à une expression typée une flèche de $C$. Je procède par exemple, je ne donne pas de définition.

    Une expression typée est un couple (U,E) où $U$ est appelé "contexte" et de la forme $(x_1:X_1,..x_n:X_n)$ (les $x_i$ sont des lettres et les $X_i$ sont des objets de $C$) et $E$ est une expression mathématique bien formée constituée exclusivement de lettre figurant parmi les $x_i$ du contexte $U$, sauf éventuellement quand elles sont liées par un quantificateur.

    Vous pouvez penser aux polynômes ou aux mauvais élèves (qui écrivent $f(x)$ à la place de $f$). L'expression suit le style des "mauvais élèves", ie elle désignera en fait une fonction et les variables qui apparaissent dedans n'auront pas de valeur. Attention, pour former 'expression, on peut utiliser à profusion des flèches de $C$ à la condition qu'on les écrive correctement.

    Exemple: Voici une expression typée, $((x:A, y:B^A) , f(x)=y(x))$. Le contexte est $(x:A, y:B^A)$. Il déclare la variable $x$ comme ayant le type $A$ et la variable $y$ comme ayant le type $B^A$. L'expression est $f(x)=y(x)$. Pour qu'elle ait un sens, il faut que $f$ soit une flèche de $C$ de la forme $f: A\to B$.

    Comment calculer sa valeur? Sa valeur sera une flèche allant de $T:=A\times B^A$ dans $\Omega$. La lettre $x$ a comme valeur la projection $\pi_1$ de $T\to A$. La lettre $y$ a comme valeur $\pi_2:T\to B^A$. C'est général, ie dans le cas général, un contexte $(x_1:X_1,..x_n:X_n)$ est la source de la flèche, qui sera $X_1\times X_2\times ..\times X_n$ et les lettres ont comme valeur la composition de projections qu'il faut faire pour y accéder.

    La valeur de $y(x)$ sera $ev\circ <\pi_2,\pi_1>$. La valeur de $f(x)$ sera $f\circ \pi_1$. Et enfin la valeur de l'expression tout entière est $eq_\circ <f\circ \pi_1, ev\circ <\pi_2,\pi_1>>$. L'expression est dite "de type $\Omega$ dans le contexte $(x:A, y:B^A)$ et sa valeur est une flèche de $(A\times B^A)\to \Omega$

    Cette construction est générale et je l'espère se devine dans le cas général. Vous pouvez alors "vous imaginer" que $\Omega$ est un ensemble de valeurs de vérité (comme par exemple $\{vrai;faux\}$) et que dans le cas particulier où $f:A\to \Omega$ que vous avez affaire à un prédicat.

    Vous pouvez "vous imaginer" que $eq$ est la valeur du signe $=$. Quoiqu'il en soit, vous pouvez associer une valeur à toute expression bien formée et bien typée. Evidemment, si vous avez choisi $eq$ et $\Omega$ n'importe comment, ça peut donner des résultats exotiques.

    Pour doter $\Omega$ de connecteurs logiques, vous pouvez alors vous donner une flèche que vous appelez $vrai:1\to \Omega$. Cela suffit pour créer tous les connecteurs logiques, y compris les quantificateurs!!

    Il suffit de suivre le réseau d'abréviations suivantes:

    "A et B" est une abréviation de "(A,B)=(vrai,vrai)"
    "A=>B" est une abréviation de "(A et B)=A"
    Si vous avez une expression $E$ qui dans le contexte $U,(x:X)$ est de type $\Omega$, sa valeur est une flèche de $f:T\times X\to \Omega$. En notant $h$ l'unique flèche de $T\to \Omega^X$ telle que $f=ev\circ <h\circ \pi_1,\pi_2>$, vous récupérez la valeur de l'expression $\{x\in X\mid E\}$ qui est de type $\Omega^X$ dans les contexte $U$. C'est là une définition. Et bien $\forall x\in X: E$ est une abréviation de $\{x\in X\mid E\} = \{x\in X\mid vrai\}$

    Etc, etc.

    Finalement, se placer dans un topos, c'est faire certaines hypothèses sur $\Omega$ et sur $eq$ de manière à ce que les valeurs des expression mathématiques ne soient pas trop exotiques à l'arrivée. Le document que j'ai mis en lien ou le cours de Prouté (de 400 pages) précise les choses.

    Peut être que dans les posts suivants, je serai progressivement amené (si je trouve la voie) à utiliser des valeurs d'expressions (dans les cas où on peut se passer de $\Omega$)

    ***** J'aurais évidemment dû écrire: "il existe une fonction définie sur $(Ob(C))^2$ telle que blabla (et non pas "définie sur $C^2"$)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    GBMZ a écrit:
    Mouais, il repose pas mal sur le tiers-exclus ....

    Oui c'est clair et à deux endroits: la définition de $f$ qui est une définition par cas "si alors sinon" et la contradiction finale (qui empéche un $E$ tel que $E=\emptyset^E$ d'exister).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Arf mais que je suis bête! Comme quoi quand on veut pas voir un truc on le voit pas... Je suis censé être spécialiste du contre-exemple évident** en plus.

    Il existe une catégorie cartésienne fermée et dedans deux objets $A,B$ tels que $A=B^A$ avec $B$ pas final (et $A$ non plus). Je laisse le plaisir aux quelques éventuels lecteurs de ce fil de chercher

    Indice (qui met considérablement sur la voie): C n'a... qu'un seul objet.

    ** enfin évident pour les spécialistes dudit.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Une catégorie cartésienne a un objet terminal. Si elle a un seul objet, cet objet est terminal.
  • christophe c
    christophe c
    Ah mince, tu as raison!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Bon bin le problème reste ouvert du coup. Et je peux dire à quoi je pensais: au système du lambda calcul (avec couples et projections). Mais ça ne marche (pas d'objet terminal effectivement).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • afk
    afk
    Que signifie avoir des produits? Réponse: ça veut dire qu'on s'est donné une fonction définie sur $C^2$ ...

    C'est quoi une fonction définie sur le carré d'une catégorie? Si tu identifies catégorie et ensemble de ses objets et foncteurs et fonctions, la notion même de catégorie perd son intérêt. De plus, les produits ne sont définis qu'à isomorphisme unique près. Admettre des produits ne signifie pas nécessairement qu'on s'est donné un représentant du produit pour chaque couple d'objet.
  • christophe c
    christophe c
    afk a écrit:
    les produits ne sont définis qu'à isomorphisme unique près. Admettre des produits ne signifie pas nécessairement qu'on s'est donné un représentant du produit pour chaque couple d'objet

    Entièrement d'accord, mais il semble qu'assez souvent on a besoin d'une notation, donc d'un choix de représentant (il faut assumer). En tout cas Prouté par exemple assume complètement cette décision pour parler des topos dans son cours. Et il en parle, il ne le fait pas par sous-entendus.
    afk a écrit:
    C'est quoi une fonction définie sur le carré d'une catégorie? Si tu identifies catégorie et ensemble de ses objets et foncteurs et fonctions, la notion même de catégorie perd son intérêt

    Oula. Bien sûr que non et HEUREUSEMENT que non pour les catégories. Il n'y a aucune pertinence à distinguer entre "petite catégorie" et "catégorie". Cette erreur est à attribuer à une méconnaissance de la théorie des ensembles de la plupart des fondateurs de la théorie des catégories. Comme beaucoup de gens ils avaient probablement une vague culture sur la crise des fondements, et plus que d'autres avaient été sensibles au fait que certaines collections ne sont pas des ensembles. Du coup, ils avaient cru bon de créer une distinction (complètement artificielle) entre "petite" et "grosse". Cette même erreur est souvent commise par les philosophes qui n'ont qu'une culture basique en théorie des ensembles. On voit d'ailleurs là une faiblesse de la recherche où les différentes spécialités ne communiquent que très peu.

    Il est (enfin il devrait être) bien évident que quand tu veux étudier un objet qui risque d'être gros, tu te places dans un inaccessible et tu fais tout dedans. D'ailleurs sinon ce que tu fais est très limité d'une part et n'a pas de sens mathématique vraiment officiel d'autre part, ce qui est quand-même un peu gênant.

    Un inaccessible est un ensemble infini $E$, transitif, contenant $\N$ comme élément, stable par $P$ et tel que toute partie $X$ de $E$ telle que $card(X)<card(E)$ vérifie $X\in E$. Je crois d'ailleurs que parmi les fondateurs des catégories il y en a un qui n'a pas commis l'erreur c'est .. Grothendieck. On peut au moins lui reconnaitre là une forme de cohérence formelle qui aurait dû faire école.

    Bref... Quand tu veux parler de tous les anneaux, tu parles de tous les anneaux de $E$, quand tu veux parler de tous les modules, tu parles de tous les modules de $E$, etc. Ca ne change absolument rien et ça permet d'éviter des maladresses et des lourdeurs qui relèvent du sexe des anges. Et bien entendu, ça ne change absolument pas l'intérêt de la notion de catégorie. Pense aux théoriciens des groupes par exemple: aucun n'a "l'idiotie" de vouloir étudier S(Univers) (ce qui ne présente aucun intérêt). Bin c'est pareil en catégorie. Une catégorie c'est un ensemble d'objets et de flèches vérifiant telles et telles équations. Un foncteur entre deux catégories $C,D$ c'est une application "qui va de $Obj(C)$ dans $Obj(D)$ et de $Fl(C)$ dans $FL(D)$" tel que blabla, etc, etc. Si tu veux étudier la catégorie ens, tu étudies celle de $E$ épiCtout.

    A contrario imagines que pour une étrange raison, tu fasses autrement: alors encore ça va un tout petit peu d'avoir une collection non ensembliste d'objets et de flèches. Mais déjà parler d'un foncteur n'a pas de sens mathématique, à moins d'en fixer quelques uns individuellement (qui seront de poussives relations binaires définies syntaxiquement sur l'univers). Alors :-D parler de catégorie de foncteurs, ça devient complètement non fondé. A moins que tu ne formalises autrement les choses avec des axiomes du second ordre ad hoc, bref, à moins de réinventer poussivement l'eau chaude, (ie l'ensemble E en moins bien).

    Je crois que j'avais d'ailleurs déjà averti sur cette erreur sur le forum, il y a longtemps. En bref, il serait bon de temps en temps que les spécialistes du domaine X suivent un cours du domaine Y et vice versa
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  • afk
    afk
    Hmmm ma remarque était bien plus basique. Juste qu'un foncteur a une action sur les objets et une autre sur flèches. Deux applications. Prétendre expliquer la théorie aux débutants en ne les distinguant pas me parait risqué. Quand tu définis ton produit, tu ne décris qu'une fonction définie sur $Ob(C)^2$ pas sur $C^2$. On peut montrer qu'elle se relève en un foncteur grâce à la propriété universelle mais ça n'est pas trivial.
  • christophe c
    christophe c
    Quand tu définis ton produit, tu ne décris qu'une fonction définie $Ob(C)^2$

    Bin oui, et il me semble que c'est OK, non? Comme j'ai dit dans mon post, à chaque couple d'objets $(A,B)$ on associe un triplet $(A\times B, \pi_1 (A,B), \pi_2(A,B))$ tel que blabla.

    Qu'est-ce qu'il manque?
    On peut montrer qu'elle se relève en un foncteur grâce à la propriété universelle mais ca n'est pas trivial.

    Tout à fait d'accord, mais je n'ai pas parlé de foncteur, justement parce que ça me parait complexe pour un résumé.
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  • christophe c
    christophe c
    D'ailleurs le truc pas trivial dont tu parles me prendrait à moi probablement de nombreuses heures.
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  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    afk a bien raison. La phrase
    "Que signifie avoir des produits? Réponse: ça veut dire qu'on s'est donné une fonction définie sur $C^2$ , notée lourdement $(A,B)\mapsto(A\times B,\pi_11(A,B),\pi_2(A,B))$"
    est incorrecte.
  • christophe c
    christophe c
    Je la recopie sans l'abréviation.

    Que signifie "avoir des produits"? Réponse: cela signifie qu'il y a une fonction définie sur $C^2: (A,B)\mapsto (A\times B,\pi_1(A,B),\pi_2(A,B))$ telle que:

    pour tous objets $A,B$ de $C$, $A\times B$ est un objet de $C$ et $\pi_1(A,B)$ est une flèche de $A\times B\to A$ et $\pi_2(A,B)$ est une flèche de $A\times B\to B$ et pour tout triplet $(X,f,g)$ tel que $f:X\to A$ et $g:X\to B$, il existe une unique flèche $h: X\to A\times B$ telle que $f=\pi_1(A,B)\circ h$ et $g=\pi_2(A,B)\circ h$.

    Soit j'ai raté un grave épisode, soit la contestation concerne les différences à priori négligeables entre cette recopie et la phrase du post ($\pi_1$ à la place de $\pi_1(A,B)$, mais j'ai précisé l'abus et "on s'est donné" à la place de "il existe".
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  • christophe c
    christophe c
    Ou peut-être aurais-je dû dire "il existe une fonction définie $(Ob(C))^2$, effectivement?
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  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est toujours incorrect. Si $C$ désigne la catégorie, $C$ ne désigne pas l'ensemble de ses objets. "définie sur $C^2$" est donc incorrect. C'est ce qu'afk écrit et que tu ne veux pas comprendre.
    Edit : tu as fini par comprendre.
  • christophe c
    christophe c
    D'accord, c'est clair. C'était simple, il suffisait de me dire "tu aurais dû écrire $(Ob(C)) ^2$ à la place de $C^2$ dans la définition" :-D C'était effectivement une coquille de ma part. Dommage d'ailleurs, maintenant qu'il y a eu cette discussion, je ne peux plus la modifier dans le corps du texte. Je vais faire un astérisque.

    [size=x-small]J'ai fait pire hier: j'ai distribué un doc à une classe dans lequel j'ai oublié "positif", ie j'ai dit "pour tout a>0, il existe un unique b tel que b²=a"[/size]
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  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    afk écrivait:
    > Quand tu définis ton produit, tu ne décris qu'une fonction définie sur $Ob(C)^2$ par sur $C^2$.

    mais tu ne lisais pas ...
  • christophe c
    christophe c
    Oui c'est vrai mais c'est parce qu'en fait lui il pensait au foncteur et m'en parlait et je me concentrais la dessus sans lire la trivialité de la coquille. Cette coquille est d'ailleurs un abus de langage usité, par exemple $\forall x\in \R$ est invalide pour les même raisons si on considère le corps $\R$ et non pas l'ensemble des nombres réels, etc. Du coup je n'ai effectivement rien vu.
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  • christophe c
    christophe c
    Soit $f,g$ des flèches de $E\to A$. On suppose de plus que $\pi_1=\pi_2: A\times A\to A$. Alors $f=\pi_1\circ <f,g>=\pi_2\circ <f,g>=g$.

    Si en plus de ça on a une flèche de $1\to A$ alors donc $A$ est final.

    Tout ça pour dire, que je me posais une petite question triviale (dans une catégorie cartésienne) qui était "est-ce que si $\pi_1=\pi_2$ et $f:1\to A$ alors $A$ est final?" et que je poste la réponse parce que ça coute pas cher.

    Autre question du même jus: est-ce que si la diagonale $<1_A,1_A>$ est un épimorphisme et $f:1\to A$, $A$ est forcément final? (Dans une CCF) Je la tape pour y réfléchir (ça me parait nettement moins pariable à priori).
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  • christophe c
    christophe c
    Ah bah si c'est tout aussi facile: on a $\pi_1\circ <1_A,1_A> = \pi_2\circ <1_A,1_A>$ donc $\pi_1=\pi_2$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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