Distance arctan

Bonsoir,

On note $d_u$ la distance usuelle de $\R$ et $d$ la distance $d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|$. J'aimerais montrer que $Id_{\R}:(\R,d)\rightarrow (\R,d_u)$ est un homéomorphisme mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est continue : si on prend un ouvert $O$ de $(\R,d_u)$ alors il faut montrer que $Id^{-1}(O)$ est un ouvert de $(\R,d)$. J'ai pensé à écrire $Id^{-1}(O)=O=(\arctan\circ \tan)^{-1}(O)=\tan^{-1}(\arctan^{-1}(O))$ mais je ne sais pas en quoi cela aide.