Un calcul de somme

L2_maths
L2_maths
dans Analyse
Bonjour, dans la démonstration suivante, est-ce qu'il y a une erreur quand ils disent que $\sum_{i=1}^n x_i^2=1$ ? Je pense que c'est $\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2=1$ mais je n'arrive pas à le montrer. D'autre part, la définition de $\mathbb{S}^n$ est $\{(x_1,...,x_n,x_{n+1})\in\mathbb R^{n+1},\, \sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=1\}$ plutôt non ?43729

Réponses

  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Oui il y a une typo.
  • L2_maths
    L2_maths
    Je m'en doutais mais je ne parviens quand même pas à montrer que $\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=1$ :



    $\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=\frac{1}{(u_1^2+\ldots +u_n^2+1)^2}(4u_1^2+\ldots +4u_n^2+(u_1^2+\ldots +u_n^2-1)^2)$
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    Développe le carré au numérateur.
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    J'espère qu'il y a un dessin dans ton document (ou au moins les idées qu'il y a derrière la projection stéréographique). À défaut, on trouve probablement cela facilement sur la toile.
  • L2_maths
    L2_maths
    En ayant posé $u_{n+1}=1$, le dénominateur développé donne : $1+\sum_{i=1}^{n}u_i^4+2\sum_{1\leq i<j\leq n+1}u_i^2 u_j^2$ je ne vois pas ce que ça simplifie :-S
    Si on développe de même le numérateur ça donne quelquechose d'horrible.
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    Qui parle du dénominateur ??
  • L2_maths
    L2_maths
    Oula... Il faut que je me réveille, je recommence. On pose $u_{n+1}=-1$.

    $\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=\frac{1}{(u_1^2+\ldots +u_n^2 +1)^2}(1+4\sum_{i=1}^{n}u_i^2+\sum_{i=1}^{n}u_i^4+2\sum_{1\leq i<j\leq n+1}u_i^2 u_j^2)$
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    C'est pas forcément une super bonne idée d'avoir posé $u_{n+1}=-1$. En fait, avec $-1$ tout court, on doit y voir plus clair (et faire moins d'erreurs).

    D'ailleurs, pour voir comment ça marche, tu peux commencer par le cas $n=1$.
  • L2_maths
    L2_maths
    Est-ce que l'égalité là est correcte ? $$
    \sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=\frac{1}{(u_1^2+\cdots +u_n^2 +1)^2}\Big(1+4\sum_{i=1}^{n}u_i^2+\sum_{i=1}^{n}u_i^4+2\sum_{1\leq i<j\leq n}u_i^2 u_j^2-\sum_{i=1}^{n}u_i^2\Big)$$
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    Non plus. Essaie avec $n=1$.
  • L2_maths
    L2_maths
    Effectivement. Bon ce n'est pas simple pour moi et comme à leurs habitudes les auteurs de ce livre (Marie Dellinger et Zoé Faget et Jean-Pierre Marco) baclent la rédaction avec plein de coquilles, pas de dessin, et pas de détails. Quelqu'un a une référence pour ce théorème ?
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Une bonne manière de le voir est de constater qu'en développant le carré, il y a des termes comme $u_i^4$, des termes comme $-2u_iu_j$ ($i\neq j$) et un dernier terme : $-1$. En ajoutant les termes comme $4u_iu_j$ on peut alors comparer à ce que l'on a en développant le dénominateur.

    Si on veut écrire cela formellement ça peut être un peu pénible mais il n'y a pas plus d'idée que cela et faire le cas $n=1$ et $n=2$ doit permettre de voire et de comprendre les idées.

    Pas de références en tête mais ça doit être facile à trouver sur la toile. Ça n'apparaît en tout cas dans les RDO que comme exercice.
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    Bof, c'est pas un théorème. La projection stéréographique, ça se trouve un peu partout. Le dessin pour $n=1$ (qui est en fait le cas général après une rotation idoine) plus bas.43733
  • L2_maths
    L2_maths
    Sur la figure suivante, pouvez-vous m'expliquer comment est obtenue la formule $y=\frac{1}{1-x_n}(x-x_n e_n)$ ?43735
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Par le théorème de Thalès (dans le plan contenant le centre de la sphère, son pôle nord et le point x - voir le dessin de remarque juste au-dessus).
  • L2_maths
    L2_maths
    Alors là je ne vois pas du tout comment appliquer Thalès (que je crois ne pas avoir utilisé depuis le collège), il y a plusieurs composantes etc :-(
    Il faut reconstruire des triangles pour faire apparaître les relations ?
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    On cherche les coordonnées $(x,y)$ d'un certain point sur le cercle. Rajoute les points de coordonnées $(x,0)$ et $(0,y)$. Tu devrais voir des parallèles et du Thalès.
  • remarque
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    Je recycle mon dessin (coup de bol qu'il n'ait pas été effacé entre temps...).43739
  • L2_maths
    L2_maths
    En fait je ne vois pas ce que vient faire Thalès. Ce qu'on cherche ce sont les projections de $y$ sur $x$ et $e_n$ (le pôle Nord) non ?
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    Il y a deux triangles semblables sur la figure, un vert et un marron.
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    Et en voilà deux autres !

    file.php?4,file=43741

    Un petit test pour voir si on peut manipuler les images un peu mieux que par défaut.

    Ah. Les manipulations d'image ne marchent qu'un temps... dommage.
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    C'est peut-être le fait de se retrouver en dimension $2$ qui est perturbant.

    On a au départ un élément de $\R^n$, $y=(y_1, \dots, y_n)$, que l'on voit comme élément de $\R^{n+1}$ : $Y=(y_1,\dots,y_n,0)$ que j'abrège en $Y=(y ; 0)$.

    Avec les mêmes abréviations, le pôle nord est $N=(0 ;1)$ et on cherche un point $X$ sur la droite $(YN)$ et sur la sphère unité. Le dessin est fait dans le plan contenant l'origine, $Y$ et $N$ (et donc $X$).
  • remarque
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    Oui, c'est vraiment une question bidimensionnelle : l'intersection d'une sphère de dimension $n$ avec un plan passant par son centre est un cercle de même rayon.43743
  • L2_maths
    L2_maths
    Mais on ne connaît pas :
    - le côté horizontal et l'hypothénuse du triangle vert
    - le côté horizontal et l'hypothénuse du triangle rouge
  • remarque
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    On connaît quand même pas mal de choses. Si Thalès t'embête à ce point, tu peux aussi chercher $t$ tel que $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}\|y\|\\-1\end{pmatrix}$ soit de norme $1$.
  • L2_maths
    L2_maths
    Quelqu'un peut donner la solution avec Thalès permettant de montrer que $y=\frac{1}{1-x_n}(x-x_n e_n)$ ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Les bras m'en tombent. Etre paralysé à ce point par une simple application de Thalès ? Pauvre géométrie !
    $$\overrightarrow{AX}= (1-x_n) \overrightarrow{OY}$$43745
  • L2_maths
    L2_maths
    J'ai jamais vraiment fait de géométrie en fait. Même cette formule je ne vois comprends elle équivaut à $y=\frac{1}{1-x_n}(x-x_n e_n)$ :-S

    Je vais me contenter de la preuve algébrique de l'homéomorphisme et tâcher de m'en souvenir.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L2_maths écrivait:
    > Même cette formule je ne vois comprends elle
    > équivaut à $y=\frac{1}{1-x_n}(x-x_n e_n)$ :-S

    :-( M'enfin ?
    $y=\overrightarrow{OY}$ et $\overrightarrow{AX}= \overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}=x-x_ne_n$, tout de même !

    Edit : heu, tu as au moins compris pourquoi $\overrightarrow{AX}=(1-x_n) \overrightarrow{OY}$ ? A défaut de Thalès, vois-tu l'homothétie de rapport $1-x_n$ de centre le pôle nord ? Bon, si tu n'as jamais fait de géométrie, homothétie doit être un gros mot pour toi.
  • thomasnaret
    thomasnaret
    Y a une video de la sphère selon deux échelles et de la surface sur l'espace euclidien, ici.

  • remarque
    remarque
    thomasnaret écrivait:
    > Y a une video de la sphère

    Dis-donc, tu insistes ! Le paquet de nouilles au milieu n'est pas une sphère : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1135487,1135909#msg-1135909
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