Stabilité par réunion quelconque

L2_maths
L2_maths
dans Topologie
Bonjour,

Soient un espace topologique $(E,\mathcal{T})$ localement compact et non compact. Soit $\omega$ un élément n'appartenant pas à $E$. On pose $F=E\cup\{\omega\}$. On pose également $\mathcal{T}_F=\mathcal{T}\cup\mathcal{T}'$ avec $\mathcal{T}'=\{(E\backslash K)\cup\{\omega\}\,|\, K$ compact de $(E,\mathcal{T})\}$.
L'objectif est de montrer que $\mathcal{T}_F$ est une topologie sur $F$ mais il me manque la stabilité par réunion quelconque.

Soit $(O_i)_{i\in I}\in\mathcal{T}_F^I$. Comment faire pour montrer que $\bigcup_{i\in I}O_i\in\mathcal{T}_F$ ?

Réponses

  • remarque
    remarque
    Quand tu prends une famille d'éléments de $\mathcal{T}'$, comment s'exprime leur réunion ?
  • L2_maths
    L2_maths
    J'ai l'impression qu'il y a plusieurs cas à distinguer.
    - Si pour tout $i\in I,\omega\notin O_i$ alors pour tout $i\in I$, il existe un compact $K_i$ dans $E$ tel que $O_i=E\backslash K_i$ donc $\bigcup_{i\in I}O_i=E\backslash\bigcap_{i\in I}K_i\in\mathcal{T}'$ car $\bigcap_{i\in I}K_i$ est compact dans $E$.
    - Sinon je ne sais pas quoi faire
  • L2_maths
    L2_maths
    Je relance.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La réunion d'une famille quelconque d'éléments de $\mathcal{T}$ est un élément de $\mathcal{T}$.
    La réunion d'une famille quelconque d'éléments de $\mathcal{T}'$ est un élément de $\mathcal{T}'$.
    La réunion d'un élément de $\mathcal{T}$ et d'un élément de $\mathcal{T}'$ est un élément de $\mathcal{T}'$.
  • L2_maths
    L2_maths
    Edit.
  • remarque
    remarque
    L2_maths écrivait:

    > - Si pour tout $i\in I,\omega\notin O_i$ alors etc.

    Non, c'est le contraire justement. Si $\omega\notin O_i$, alors $O_i$ appartient à $\mathcal{T}$. A moins que tu n'aies voulu dire $\notin$ au sens de $\in$, auquel cas tout baigne naturellement.
  • L2_maths
    L2_maths
    Ok c'est bon pour la stabilité par réunion quelconque de $\mathcal{T}'$. Comme par définition d'une topologie, $\mathcal{T}$ est aussi stable par réunion quelconque, pour montrer que $\mathcal{T}_F$ l'est aussi, il suffit de montrer comme dit GaBuZoMeu que si $O\in\mathcal{T}$ et $O'=(E\backslash K')\cup\{\omega\}\in\mathcal{T}'$ alors $O\cup O'\in\mathcal{T}'$, ce que je n'arrive pas, je ne vois pas quel compact $K$ prendre pour l'écriture $O\cup O'=(E\backslash K)\cup\{\omega\}$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Le complémentaire de $O$ dans $E$ est un fermé $F$. Hum ... $F\cap K'$ ... (franchement, c'est la seule chose qu'on peut faire !)
  • L2_maths
    L2_maths
    Merci c'est bon. On peut ensuite montrer que $(F,\mathcal{T}_F)$ est compact qu'on appelle le compactifié d'Alexandroff de $(E,\mathcal{T})$, ce qui m'a posé moins de problème. C'est assez joli ce truc je trouve :-)
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