Une distance

L2_maths
L2_maths
dans Géométrie
Bonjour,

Je ne comprends pas l'interprétation géométrique ci-dessous, je n'arrive pas à voir que $d$ représente la longueur de l'arc de cercle unité entre $u$ et $v$. Je crois que ce qui me pose problème est la multiplication $u\overline{v}$.

Pourriez-vous m'aider ?43677

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Si $u = x + iy$ et $v = x' + iy'$ avec $(x,y,x',y') \in \R^4$, alors $\mathrm{Re}(u\bar v) = xx' + yy'$. Autrement dit, $\mathrm{Re}(u\bar v)$ ceci correspond au produit scalaire usuel sur $\R^2$.

    Par ailleurs, si $u = e^{i\alpha}$ et $v = e^{i\beta}$ avec $(\alpha,\beta) \in \R^2$, alors $u \bar v = e^{i(\alpha - \beta)}$ d'où $\mathrm{Re}(u\bar v) = \cos(\alpha - \beta)$, ce qui justifie la formule.
  • L2_maths
    L2_maths
    Ok merci du coup avec tes notations, si on positionne $v$ et $u$ sur le cercle unité, l'angle (en valeur absolue) entre ces derniers est $|\alpha -\beta |$ donc la longueur de l'arc entre ces derniers est bien $1\times |\alpha-\beta|=|\arccos(\cos(u,v))|=|\arccos(\mathrm{Re}(u\bar v))|=d(u,v)$. Marrante cette distance.
  • remarque
    remarque
    Il n'y a pas a priori deux longueurs d'arc possibles entre deux points du cercle unité ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    $cos(2\pi-\theta)=cos(\theta)$. Utiliser $Arcos$ est faire un choix arbitraire.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Jer anonyme
    Jer anonyme
    Je proteste contre l'arbitraire entre les deux longueurs d'arcs possibles, il y en a une plus intéressante que l'autre, c'est la plus courte ! Or comme l'arccosinus est dans $[0,\pi]$, cette formule sélectionne « automatiquement » le plus petit des deux arcs entre $u$ et $v$. C'est ce que l'on utilise d'ailleurs pour calculer la distance en trigonométrie sphérique.
  • remarque
    remarque
    Le point était que
    l'angle (en valeur absolue) entre ces derniers est $|\alpha -\beta |$ donc la longueur de l'arc entre ces derniers est bien $1\times|\alpha -\beta |$

    ne va pas.
  • Jer anonyme
    Jer anonyme
    D'accord.
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