Ouverts de $\R$

L2_maths
L2_maths
dans Topologie
Bonsoir, dans la démonstration suivante, je comprends chacun des arguments... sauf le dernier (:D

Pourquoi est-ce que la séparabilité de $\R$ (existence d'une partie dénombrable dense, ce qui équivaut à l'existence d'une base de topologie dénombrable qui engendre la topologie usuelle de $\R$) entraîne que tout ensemble d'ouverts deux à deux disjoints est dénombrable ?43667

Réponses

  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Eh bien, chacun des ouverts $U$ de ta famille contient un certain $x_U$. Cette correspondance est injective, puisque tes ouverts sont disjoints. Donc il y a plus de points dans ta partie dénombrable que d'ouverts dans ta famille. Donc c'est que ta famille est dénombrable !
  • L2_maths
    L2_maths
    Ok ça marche. Je pense qu'il faut préciser que les intervalles sont non vides, ce qui est bien le cas car des composantes connexes sont non vides. Sinon on peut avoir une infinité non dénombrable d'intervalles ouverts. D'ailleurs, j'aurais séparé dès le début de la démonstration les cas $O=\emptyset$ et $O\neq\emptyset$.
  • remarque
    remarque
    Tu penses qu'il y a une infinité d'ensembles vides ? Gare à la police du vide ! :-D
  • remarque
    remarque
    Ceci dit, pas besoin d'appel à l'axiome du choix, implicite dans la notation $x_U$. Prends une énumération de $\Q$ et associe à chaque ouvert le plus petit numéro des rationnels appartenant à cet ouvert. Ca définit un injection de l'ensemble de ces ouverts dans $\N$.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @remarque : Haha, j'attendais que christophe me tombe dessus pour lui répondre ça, mais tu m'as cassé mon truc (:P)
  • remarque
    remarque
    Ah désolé ! De toutes façons, Christophe t'aurait aligné de la même manière, donc pas de regrets ! :-D
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