Erreur ? Analyse L3 Pearson

Sisi ! Vas-y, donnes-nous le contre-exemple ! :-D

Ah certes. Ouais. Bon. Je ne pendrais pas les auteurs de cet oubli haut et court pour autant.

Ah, ne serait-ce par plutôt $[0,1[\cup[1,2]$ qui serait visé ?

Edit : d'accord avec Siméon sur la nature de l'oubli.

Pour le plaisir d'ergoter :-D : la précision « non vide » est rendue non nécessaire par la précision « nécessairement ». Ceci dit, toujours pour le plaisir cité plus tôt, je ne suis pas vraiment convaincu que la phrase soit irrémédiablement fautive. S'il avait été écrit, une réunion [...] n'est jamais connexe, là oui. Mais sinon, c'est une phrase non quantifiée, avec un quantificateur implicite sur les connexes concernés et il me semble que cette tournure en français appelle plus un quantificateur implicite existentiel qu'un quantificateur implicite universel. Mais c'est sûr que c'est mieux écrit avec un « nécessairement », ou bien « il existe des connexes tels que [...] ».

Travaillant également sur ce livre et ne pensant pas être le seul, je pense qu'il serait intéressant de créer un fil sur lequel nous répertorions les erreurs trouvées. J'en ai déjà trouvé plusieurs personnellement et c'est bien dommage car hormis ces erreurs je trouve le livre très bien fait. Un tel fil répertoriant les erreurs existe par exemple sur les Gourdon.

Je soumets à ta réflexion les deux phrases suivantes :
1- la réunion de deux parties connexes disjointes n'est pas connexe.
2- la réunion de deux parties connexes disjointes peut ne pas être connexe.

Bonsoir,

Pas d'accord ! Le segment d'énoncé "la réunion de deux parties connexes disjointes n'est pas connexe" est porteuse d'une pénible ambiguïté pour l’apprenant qu'il aurait été possible d'éviter par l'adjonction de l'adverbe "nécessairement". J'aime la rigueur en Mathématique.

Il est à noter que la partie "Topologie" est truffée d'erreurs et j'en avais informé Monsieur Jean-Pierre Marco.

Cordialement,

Thierry

Ah ha ! Plus il y a d'ergoteurs, plus on rit ! Bien sûr, tenir l'apprenant par la main coûte que coûte, pourquoi pas. Mais quand même, quand on donne comme justification d'une assertion un simple exemple, cela signifie pour l'apprenant un peu plus dégourdi que la moyenne qu'il ne s'agit pas de quelque chose d'universel. Si l'apprenant ne s'aperçoit pas que donner un exemple ne constitue en aucun cas une preuve d'une propriété universellement quantifiée, il faut peut-être qu'il reprenne son apprentissage à un niveau inférieur.

Ici il y a plusieurs auteurs dans ce livre. Je pensais que l'un des intérêts de tels livres était les lectures croisées.

Pour les vraies erreurs, voir ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1131223,1131223#msg-1131223 et dans un énoncé sur les ensembles arithmétiques, une erreur moins grave mais qui fait perdre du temps est qu'ils ont oublié de préciser que dans $A_{a,b}=aZ+b$ il faut que $a\neq 0$. On verra s'il y en a d'autres.

Pour ce chapitre sur la connexité, une remarque personnelle : je trouve les preuves des propriétés donnant des conditions pour que des réunions de connexes soient connexes horribles. A mon avis ils auraient mieux fait de démontrer le théorème (facile à démontrer) : "E connexe ssi toute application continue de E dans {0,1} est constante" juste après la définition de connexe. Cette caractérisation rend pas mal de preuves BEAUCOUP plus faciles à démontrer qu'en utilisant uniquement la définition.

Voilà une démo tirée du Gourdon.

En effet, c'est même plus court. Cependant il est vrai que la démo du Gourdon est plus facile à comprendre.

Je ne vois pas ou est l'erreur dans le Gourdon.

Ah bon ! Donc, lorsque je vois écrit "En particulier, $f_{|C_{i_0}}$ est connexe", au lieu de "En particulier, $f_{|C_{i_0}}$ est constante", il n'y a donc aucune erreur. Surprenant !

Ok, mais pourquoi cette autre démonstration ?

Une autre comparaison : L3 analyse vs Ramis (qui note $D=\{0,1\}$) pour la propriété "une partie coincée entre un connexe et son adhérence est connexe".

Je trouve qu'il n'y a pas photo^^ mais c'est vrai que c'est affaire de goût.

Jouons au jeu de GaBuZoMeu. Soit deux ouverts disjoints qui partagent $B$. Comme $A$ est connexe, il est inclus dans un des deux. Comme $A$ est dense dans $B$, $B$ également (remplacer ici le « prolongement par continuité » par tout autre truc imprécis). :-D

Nous sommes bien d'accord. C'est le « prolongement par continuité » que j'ai du mal à cerner.

Aucune de ces preuves n'est suffisamment formelle pour un jeune étudiant pointilleux. Même celle du Pearson qui fait semblant de detailler et qui s'embourbe

Mais ce n'est pas une coquille. On a vu un exemple de coquille plus haut. C'est une petite maladresse, pas de quoi fouetter un apprenant.

Le wifi a l'air de marcher donc je précise mon post. Une preuve ne doit pas éluder une difficulté même légère. Elle doit au contraire la mettre en exergue et montrer qu'elle est surmontable.

Le mot connexe est pour les espaces topologiques pas a priori pour les sous ensembles d' un espace. On munit donc le sous ensemble de la topologie induite pour en faire un espace topologique. Pour de petits résultats élémentaires il faut le dire et non le sous entendre parfaitement maîtrisé par l'etudiant.

La difficulté qui survient alors c'est que A ne sera pas connexe s'il existe U,V tels que A inclus dans U union V et U inter V INTER A (majuscules volontaires) est vide et blabla.

Le Pearson s'embourbe et le Ramis passe trop vite sur un détail subtil qui est que le prolongement des fonctions continues ne marche que si l'espace d'arrivée est sépare (ce qui est certes le cas ici mais en L2...)

Bref le temps que je tape le wifi ne marchera peut être plus.

Je donne une preuve où tout se voit (rien de caché dans un coin).

Soient $U,V$ tels que $B \subset U \cup V$ et $B \cap U \cap V =\emptyset$.
Alors $A \cap U \cap V =\emptyset$ donc $A$ étant connexe il est inclus dans par exemple $U$.
Il s'ensuit que $A$ est disjoint de $V$.
Donc $adh(A)$ est disjoint de $V$. Donc $B$ est disjoint de $V$ donc inclus dans $U$.