Deux remarques anodines topologiques

Bonjour,

En travaillant la topologie, je pense avoir remarqué deux petites choses très basiques (à supposer qu'elles soient vraies !) et que je n'ai pourtant lues dans aucun cours :

1) Parfois on lit : "$\emptyset$ est connexe" sans préciser la topologie. D'après moi c'est parce que sur $\emptyset$ il n'y a qu'une seule topologie possible, à savoir $\{\emptyset\}$ qui est d'ailleurs à la fois égale à la topologie discrète et à la topologie grossière. De même sur un singleton $\{a\}$ il n'y a qu'une seule topologie, à savoir $\{\emptyset,\{a\}\}$ encore égale à la fois à la topologie discrète et à la topologie grossière. On peut donc encore dire "un singleton est connexe" sans préciser la topologie. Dès que l'ensemble a un cardinal au moins égal à $2$, les topologies discrètes et grossières sont distinctes.

2) Soit $D$ une partie dénombrable de $\R$ muni de $\mathcal{T}$, la topologie induite par la topologie usuelle $\mathcal{T}_u$ de $\R$. Alors $\mathcal{T}=\mathcal{P}(D)$ la topologie discrète de $D$. Grâce à ça, en utilisant le fait que tout ensemble discret contenant au moins deux points n'est pas connexe, on en déduit que :
- Toute partie finie de $\R$ de cardinal au moins $2$ n'est pas connexe ;
- $\N$ n'est pas connexe dans $\R$ ;
- $\Z$ n'est pas connexe dans $\R$ ;
- $\Q$ n'est pas connexe dans $\R$.

Pourriez-vous me dire si vous voyez des erreurs dans ces 2 points ?