Base de topologie de $\R$

Bonjour,

$\mathcal{B}=\{[x,+\infty[,x\in\R\}$ est une base de topologie de $\R$ ($\R$ est la réunion des éléments de $\mathcal{B}$ et l'intersection de deux éléments de $\mathcal{B}$ est une réunion d'éléments de $\mathcal{B}$ (en fait exactement un élément de $\mathcal{B}$ ici)).

On note $\mathcal{T}$ la topologie engendrée par $\mathcal{B}$. J'arrive à montrer que $\mathcal{B}\cup \{]x,+\infty[,x\in\R\}\subset\mathcal{T}$ mais je n'arrive pas à montrer l'inclusion inverse :

Si $O\in\mathcal{T}$, il existe $(O_i)_{i\in I}\in\mathcal{B}^I$ tel que $O=\bigcup_{i\in I}O_i$ mais $\mathcal{B}$ n'est a priori pas stable par réunion quelconque...