Ensemble arithmétique de $\Z$

L2_maths
L2_maths
dans Topologie
Bonjour,

Dans l'exercice suivant, je suis bloqué dès la question 1., je n'arrive pas à montrer que l'intersection $A_{a,b}$ et $A_{c,d}$ de deux ensembles arithmétiques non vides est une réunion d'éléments de $\mathcal{B}$.

Comment procéder ?43617

Réponses

  • L2_maths
    L2_maths
    J'ai réussi à montrer que si $x\in A_{a,b}\cap A_{c,d}$ alors $A_{a,b}\cap A_{c,d}=A_{a,x}\cap A_{c,x}$ mais je ne sais pas simplifier cette expression.
  • remarque
    remarque
    Il y aurait du ppcm ou du pgcd ou d'autres bestiaux arithmétiques là-dedans que je n'en serais pas autrement surpris.
  • L2_maths
    L2_maths
    Ah, $A_{a,x}\cap A_{c,x}=A_{ppcm (a,c),x}$ ?
  • xvi
    xvi
    Bonjour,

    si je prends ton énoncé à la lettre, $a$ peut valoir $0$ et donc tous les singletons sont des ensembles arithmétiques,

    et dans le cas où $A_{a,b}\cap A_{c,d}=\emptyset$, tu as aussi la condition voulue .
  • Chaurien
    Chaurien
    Il s'agit de la démonstration de Fürstenberg de l'infinitude des nombres premiers (1955) :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Démonstration_de_Fürstenberg_de_l'infinité_des_nombres_premiers
    Dans son ouvrage The new book of prime numbers records (Springer, 1996) Paolo Ribenboim décrit une douzaine de ces démonstrations, et celle-ci est la dernière et certainement la plus insolite.
    Peut-on savoir de quel livre cet exercice est tiré ?
    Bonne journée, fête nationale de l'Assomption,
    Ch.
  • L2_maths
    L2_maths
    Ah, bien vu c'est beaucoup plus simple !

    C'est dans le livre lien
  • L2_maths
    L2_maths
    Par contre je n'arrive pas à montrer qu'un ensemble arithmétique est fermé pour la topologie engendrée par $\mathcal{B}$.

    Soit $X$ un ensemble arithmétique. Si $X=\emptyset$ alors $X$ est fermé. Sinon, il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $X=A_{a,b}$. Et ensuite ? Il faudrait montrer que $\Z\backslash A_{a,b}$ est une réunion d'ensembles arithmétiques.
  • JLT
    JLT
    Tu comprendras sans doute mieux avec la reformulation suivante : $A_{a,b}$ est l'ensemble des entiers congrus à $b$ modulo $a$.
  • L2_maths
    L2_maths
    $A_{a,b}=a\Z+b$ mais je ne vois pas le lien avec $\Z\setminus A_{a,b}$.
  • JLT
    JLT
    Les entiers qui ne sont pas congrus à $b$ modulo $a$ sont congrus à autre chose modulo $a$.
  • L2_maths
    L2_maths
    Bon je dois louper quelquechose de fondamental ce n'est pas du tout clair pour moi. De plus $a$ peut être égal à $0$ ou $1$, et même négatif.
  • JLT
    JLT
    Si $a$ est strictement négatif ceci n'est pas un problème car $A_{a,b}=A_{-a,b}$.

    Si $a=1$ alors $A_{a,b}=\Z$ donc pas de problème non plus.

    Par contre il faut interdire $a=0$, il y a une erreur d'énoncé.

    Sinon, pour $a>0$, on peut se ramener à $0\leqslant b<a$. Si $x\in \Z\setminus A_{a,b}$, alors il existe $k\in \{0,1,\ldots,a-1\}\setminus \{b\}$ tel que $x$ est congru à $k$ modulo $a$.
  • L2_maths
    L2_maths
    D'accord merci.
  • remarque
    remarque
    Un truc rigolo avec cette topologie : si je ne m'abuse c'est une topologie séparée qui donne un exemple d'ensemble dénombrable connexe (ce qui est un petit peu contradictoire avec l'intuition naïve que l'on peut avoir des connexes).
  • JLT
    JLT
    @remarque : ça m'étonnerait, vu que les $A_{a,b}$ sont ouverts fermés.
  • remarque
    remarque
    Ah bon ? Il me semblait que c'était cette topologie là, mais je n'ai pas vraiment lu le détail. Bah tant pis.
  • christophe c
    christophe c
    @remarque: c'est vrai qu'il y a une topologie séparée et connexe sur IN qui ressemble un peu à ça on avait même tapé la démo sur le forum jadis mais je me rappelle pas exactement et par google je n'ai pas retrouvé
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • remarque
    remarque
    @cc : oui je m'en rappelle (vaguement, la preuve !) aussi. B-)-
  • marco
    marco
    @remarque: je crois qu'il faut considérer $\N^*$ et les $A_{a,b}$ avec $a$ et $b$ premiers entre eux.
  • enrouement
    enrouement
    Supposons que 2, 3, 5 soient les seuls nombres premiers alors
    $2\Z \cup 3\Z \cup 5\Z = \Z-\{-1,1\}$
    $\Z-(2\Z-1) \cup \Z-(3\Z-1 \cup 3\Z-2) \cup \Z-(5\Z-1\cup ...\cup 5\Z-4) = \Z-\{-1,1\}$
    en prenant les complémentaires :
    $(2\Z-1) \cap (3\Z-1 \cup3\Z-2) \cap (5\Z-1\cup ... \cup 5\Z-4) = \{-1,1\}$
    qui est faux car 2.3.5-1 est à gauche mais pas à droite ou encore
    qui est faux car $2.3.5\Z-1$ est à gauche et est infini alors qu'à droite l'ensemble est fini.
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