Groupe de matrices inversibles

L2_maths · July 2015

Bonsoir, je sais que sii $K$ est un corps (commutatif) et $G$ une partie de $\mathcal{M}_n (K)$ telle que $G$ soit un groupe pour la multiplication, alors $(G,\times)$ est un sous-groupe de $(\mathcal{M}_n (K),\times)$. Avez-vous un exemple où $G$ n'est pas un sous-groupe de $GL_n (K)$ ?

Bergtatt · July 2015

Si $G$ est un groupe pour la multiplication, alors chaque élément possède un inverse et donc $G \subset GL_n(K)$. Il est stable par produit et par inverse par hypothèse donc c'est un sous-groupe de $GL_n(K)$ (ou je manque un truc?)

L2_maths · July 2015

Je pense que tu ne loupes rien. C'est mon exercice qui est foireux. Merci !

christophe c · July 2015

Si a^2=a que penser de ({a},x)?

Jer anonyme · July 2015

« $(G,\times)$ est un sous-groupe de $(\mathcal{M}_n(\K),\times)$. » Problème : $\mathcal{M}_n(\K)$ n'est pas un groupe pour le produit matriciel.

Dans l'esprit de ce que propose Christophe, il existe des parties de $\mathcal{M}_n(\K)$ qui sont des groupes sans être des sous-groupes de $GL_n(\K)$, par exemple l'ensemble des matrices de la forme
\[\begin{pmatrix}A&0\\0&0\end{pmatrix},\quad A\in GL_2(\K).\]
(L'opération est le produit, le neutre est la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.)
On pourra consulter la deuxième épreuve de l'X en 1986 (ça ne nous rajeunit pas !) sur le site de l'UPS.

c.candide · July 2015

L2_maths écrivait:

> sous-groupe de $(\mathcal{M}_n (K),\times)$.

$(\mathcal{M}_n (K),\times)$ n'est pas un groupe.

> Avez-vous un exemple où $G$ n'est pas un
> sous-groupe de $GL_n (K)$ ?

Par exemple si $n=2$, le groupe réduit à $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$. Les groupes de matrices sont caractérisés dans un exercice du tome 1 du Cours d'Arnaudiès et Fraysse.

Groupe de matrices inversibles

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