Inverse d'une matrice particulière

Zakariyae
Zakariyae
dans Analyse
Bonsoir à tous, existe-il une indication pour calculer l'inverse de la matrice $M - I_{n} $, où $ I_{n} $ est la matrice identité et $M $ une matrice antisymétrique, sans faire le calcul explicite.
Merci d'avance

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ce développement est faux :
    $\displaystyle {1 \over 1-x} = x + {x^2 \over 2} + \cdots + {x^k \over k} + \cdots$

    Une formule moins fausse serait :
    $\displaystyle {1 \over 1-x} = x + x^2 + \cdots + x^k + \cdots, x\in \R, |x| < 1$

    Une formule encore moins fausse pourrait être :
    $\displaystyle {1 \over 1-x} = 1+ x + x^2 + \cdots + x^k + \cdots, x\in \R, |x| < 1$


    Si la matrice est nilpotente, ou si les puissances se calculent facilement (en général $M^2$ en fonction de $M$) alors la série se calcule explicitement.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Votre indication marche bien avec mon cas, merci beaucoup YvesM.
  • bisam
    bisam
    L'indication marche peut-être... mais le développement donné est complètement faux !
  • Dom
    Dom
    Une étourderie avec le log...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pas seulement : la série avec $M$ n'a aucune raison de converger !
  • Dom
    Dom
    Oui bien sûr mais je pense que @YvesM donne une indication sans énoncer une propriété.
    C'est comme cela que j'ai compris son message en tout cas.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Indication de quoi ?
  • Dom
    Dom
    Ha pardon...
    En fait, pour moi, puisqu'on demande de calculer l'inverse de $M-I$, le fait d'écrire le développement donné (après corrections) :
    $\displaystyle {1 \over 1-x} = 1 + x + {x^2} + \cdots + {x^k} + \cdots$ (Edit : un jour cette "formule" sera juste)

    signifie qu'il peut suffir de s'en inspirer lorsque la matrice $M$ possède des propriétés suffisantes.

    @Zakariyae a d'ailleurs répondu que "ça marchait avec son cas".

    En espérant ne pas être à côté de la plaque :-/
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu n'as pas assez corrigé ! Il va falloir éditer ton message une troisième fois. ;-)
    Et j'aimerais bien voir "ce qui marche" chez Zakariyae.
  • Dom
    Dom
    Lol je vais m'y atteler.
    Oui, en effet moi aussi j'aimerais connaitre cette fameuse matrice M.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Effectivement, mon développement est faux. Une étourderie de plus (je vais le corriger). J'étais tellement content de savoir écrire une fraction en LaTeX.

    Mais ça n'est pas important. J'ai deviné le problème posé et j'ai répondu avec une parabole, une idée, un concept et non pas avec une démonstration... et ça marche, c'est l'essentiel.

    @Dom, tu as très bien compris mon message.

    Quant à $M$, laissez-moi deviner :
    a) Carley Cayley-Hamilton de la forme $A^p = A - a I_n$ ;
    b) Matrice nilpotente, normalement de degré $2$ ou $3$ ;
    c) Matrice idempotente (est-ce le terme français ?) $A^2 = a A$.

    [Arthur Cayley (1821-1895) te sait gré de respecter son patronyme. :-) AD]
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    YvesM, il te reste encore à éditer une deuxième fois ton message pour corriger ta correction. ;-)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Quant à $M$, le seul indice que Zakariyae a donné est "antisymétrique" (réelle ?). Ca n'entraîne nullement que $\sum_n M^n$ converge, et c'est incompatible avec le fait d'être nilpotente ou idempotente (sauf si $M$ est nulle, auquel cas inverser $M-I_n$ n'est pas trop dur.)
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Bonjour à tous, j'ai utilisé juste l'indication de YvesM : "ou si les puissances se calculent facilement", car dans mon cas $M$ est antisymétrique et j'ai trouvé qu'elle vérifie $M^{2}= -I_4$, donc l'inverse de $(I_4 - M)$ est donné en fonction de $(I_4 +M)$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    OK, on s'inspire de $(I_4-M)^{-1}=I_4+M-I_4-M+I_4+M-I_4-\cdots$ pour trouver $(I_4-M)^{-1}=\dfrac12(I_4+M)$. (Je suis taquin ;-)).
  • Dom
    Dom
    Et bé, avec @GaBuZoMeu, y'a qu'à bien s'tenir ;-)
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour,

    Enfin Gabobuzo se trompe pour une fois. Son égalité est complètement fausse . Il est vraie si $M²=-I$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Gebrane, tu devras repasser pour trouver une erreur :-D. Et lis plus attentivement !
    Zakariyae a écrit:
    j'ai trouvé qu'elle vérifie $M^2=-I_4$
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour GaBuZoMeu

    Ok Ok Tu es passé indemne cette fois ci ;-)
    mais tu es toujours a l’œil ::o
    Je Serai Là lorsque tu commettras une erreur :-D
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • P
    P
    Que le grand Cric me croque, mais il me semble bien qu'on apprend dans les cours d'algèbre linéaire de deuxième année d'université que $M$ d'ordre $n$ est antisymétrique si et seulement si il existe une matrice orthogonale $U$ d'ordre $n$ et des nombres réels $c_1,\ldots,c_k$ tels que suivant que $n=2k$ ou $2k+1$
    $$M=U\mathrm{diag}(A(c_1),\dots,A(c_k))U^{-1},\ \ M=U\mathrm{diag}(A(c_1),\dots,A(c_k),0)U^{-1},$$ avec $A(c)=\left[\begin{array}{cc}0&c\\-c&0\end{array}\right].$ Comme $(A(c)-I_2)^{-1}=\frac{1}{1+c^2}(A(-c)-I_2)$ on a pour $n=2k$
    $$(M-I_n)^{-1}=U\mathrm{diag}(\frac{1}{1+c_1^2}(A(c_1)-I_2),\dots,\frac{1}{1+c_k^2}(A(c_k)-I_2))U^{-1},$$ avec l'analogue pour $n=2k+1.$
  • c.candide
    c.candide
    Zakariyae écrivait:
    > antisymétrique et j'ai trouvé qu'elle vérifie
    > $M^{2}= -I_4$, donc l'inverse de $(I_4 - M)$ est
    > donné en fonction de $(I_4 +M)$.


    Ton problème initial ne supposait pas que $M^{2}= -I_4$ (ce qui retire tout intérêt à la question) et une matrice antisymétrique n'a aucune raison de vérifier cela.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    J'ai trouvé que $M$ vérifie $M^{2}= -I_4$ après l'indication de YvesM, donc avant de poser la question.
  • gebrane
    gebrane
    Salut

    @Zakariyae

    je suis curieux de savoir ta matrice M et comment tu as démontré que M²=-I
    J'attend
    Cordialement
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Zakariyae
    Zakariyae
    Bonsoir gebrane0, prend par exemple
    $$M= \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & -1\\
    1 & 0 \\
    \end{array}
    \right)$$
    On a donc $M^{2}=-I_2$ et $(I_2-M)^{-1}={1\over 2} (I_2+M)$.
  • gebrane
    gebrane
    Salut

    je ne veux pas d'exemples je veux ta matrice
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Zakariyae
    Zakariyae
    Avec plaisir gebrane0, on considère la matrice antisymétrique suivante
    $$M= \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & \lambda _1& \lambda _2 &0\\
    -\lambda _1 & 0 & 0&-\lambda _2\\
    -\lambda _2 & 0 &0 &\lambda _1\\
    0 & \lambda _2 & -\lambda _1 &0\\
    \end{array}
    \right)$$
    Posons $A:=I_4-M$, alors $A^{-1}=?$ .
    D'après l'indication de YvesM, j'ai calculé $M^{2}$ et j'ai trouvé que $M^{2}=- \parallel \lambda \parallel^{2} I_4$, avec $\lambda =(\lambda _1,\lambda _2)$. Puisque $M^{2}$ est en fonction de $I_4$ qui commute avec toutes matrices de $4\times 4$, j'ai pensé à la troisième identité remarquable, j'ai calculé donc
    \begin{align}
    (I_4-M)(I_4+M) &= (1+\parallel \lambda \parallel^{2}) I_4
    \end{align}
    On fin $A$ a pour inverse $A^{-1}=(1+\parallel \lambda \parallel^{2})^{-1}(I_4+M)$.
    Cordialement
  • gebrane
    gebrane
    Salut

    Ta matrice que tu a caché n'était si grave qu'on le croyait.
    Plus de peur que de mal
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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