Groupe créé à partir de Z/nZ

Je ne sais pas ce que signifie la notation $(\Z/n\Z)^*$ pour toi, mais je pense qu'on n'a pas la même définition.

Pour moi, c'est l'ensemble des classes inversibles modulo $n$, et donc c'est un groupe pour le produit, pour tout $n$.
Pour toi, ça a l'air d'être l'ensemble des classes non nulles. Bref...

Pour répondre à ta question: si $G$ est un groupe d'ordre $n$, alors n'importe quel ensemble $E$ à $n$ éléments peut être muni d'une structure de groupe telle que l'on ait un isomorphisme de groupes $E\simeq G$.

Il suffit de fixer une bijection $f:E\to G$ et de poser $x*y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y))$ où $\cdot$ est la loi de groupe dans $G.$

@Dom: ça dépend des auteurs.

Piteux_gore écrivait:

> que (Z/nZ, *) est un groupe abélien quand :

L'énoncé originel ne précise pas abélien

> ii) n divise a - 1 et b - 1.

Donc, si je comprends bien, dans $\Z/n\Z$, on a en fait $x*y=x+y$ d'où l'intérêt limité de la loi $*$.

Oui mais dans le Calais, il est question du groupe $\Z/n\Z$ induit par cette application ce qui donne ici (modulo 2 donc) $p*q=5p+7q=p+q$ (et d'ailleurs, il n'existe bien qu'une seule structure de groupe sur un ensemble à deux éléments).