Groupe quotient

rad écrivait:

> Dans ce cas G/H est un groupe.


Et pour quelle loi ?

>
> J'essaie de voir pourquoi G/H est un groupe.
> pour le neutre c'est $H$, l'inverse de $xH$ est
> $x^{-1}H$.

Et aussi $Hx^{-1}$. En vérité, je trouve qu'il est plus intelligible de parler de la classe du neutre $1_G$ modulo $H$ et de la classe de $x^{-1}$ modulo $H$ mais c'est peut-être une affaire de goût personnel


> je me demande d'où vient l'associativité en
> fait, quel est l'argument?


Désolé mais c'est "trivial" : il suffit d'utiliser la définition de la loi-quotient (et de l'associativité).

Une question n'est idiote que quand on sait qu'elle l'est !

J'en rajoute une couche, bien ou mal venue je ne sais. Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. A $H$ est associée une relation d'équivalence $\simeq$ telle que $x \simeq y \iff x- y \in H$ (j'ai choisi la notation additive) : on a donc un ensemble $G/\simeq$ qui est le quotient de l'ensemble des éléments de $G$ par la relation.

Dans ces conditions, il existe sur cet ensemble $G/\simeq$ une unique loi de groupe $\delta$ telle que :

1 - la surjection canonique $\sigma$ de $(G,+)$ (pour être précis) sur $(G/\simeq,\delta)$ soit un homomorphisme de groupes ;
2 - quel que soit le couple $(G',h)$ où $G'$ est un groupe et $h : G \longrightarrow G'$ est un homomorphisme ; il existe un unique homomorphisme $\bar h$ tel que $h = \bar h \circ \sigma$ si, et seulement si $h$ vérifie [\forall\,x \ \forall\,y \quad \big(h(x) = h(y) \Longrightarrow x \simeq y\big)\]


Bruno

P.S. Ce sont des banalités mais il convient de les avoir à l'esprit quand on parle de groupes quotient.