Sous-espaces vectoriels

anka_borat · July 2015

Bonjour,

je ne sais pas comment vérifier que cet ensemble est bien un sous-espace vectoriel : {P € R₃ [x] | P(5) = 0 }
Je sais que je dois commencer par vérifier si le vecteur nul appartient à cet ensemble en utilisant la condition P(5) = 0, mais je bloque.
Help please ! Merciiii

))

GaBuZoMeu · July 2015

Quel est la valeur du polynôme nul en 5 ?

anka_borat · July 2015

Je n'ai pas plus d'informations

c.candide · July 2015

Le vecteur nul de l'espace ambiant (ici $E:=\R_3[x]$) est le polynôme nul $\Omega=0\in E$. Par définition de $\Omega$, pour tout réel $a$, on a $\Omega(a)=0$ et donc $\Omega\in F:=\{P\in E, P(5)=0\}$. Cet exemple de $F$ n'est pas des plus simples pour un débutant complet en algèbre linéaire car il faut connaître certaines subtilités sur les polynômes (formels), la substitution et les fonctions polynômes.

anka_borat · July 2015

Merci !

Concrètement je dois faire quoi dans ce cas. J'ai essayé de remplacer mon vecteur (càd a₃x³ + a₂x² + a₁x¹ + a₀ ) par le vecteur nul.
J'obtiens ainsi : a₃0 + a₂0 + a₁0 + a₀ = a₀. Je ne pense pas que c'est la bonne méthode car je ne peux pas affirmer que a₀ = 0. J'ai du mal à appliquer la théorie à cet exo

gerard0 · July 2015

Bonjour Anka_borat,

il va déjà falloir faire la différence entre un polynôme et son expression ( P n'est pas la même chose que P(x)), puis faire la différence entre prendre x nul et parler du polynôme nul.

Tout deviendra plus simple.

Cordialement.

NB : il est facile de vérifier que ton sous ensemble est non vide, même avec des polynômes non nuls :-)

c.candide · July 2015

Non, tu te trompes d'étage

le vecteur nul n'est pas le zéro de $\R$ mais le zéro de $E$ c'est-à-dire le polynôme nul, autrement dit, pour reprendre ce que tu as suggéré, c'est $\Omega = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ où $a_0=a_1=a_2=a_3=0$. Ensuite, par définition, $\Omega(5) = a_0+a_1\times 5+a_2\times 25+a_3\times 125$ mais comme les $a_k$ sont nuls, on a bien sûr $\Omega(5)=0+0+0+0=0$ ce qui prouve que le vecteur nul de $E$ est dans $F$ avec les notations de mon message précédent.

Je répète, cet exemple est difficile pour commencer l'apprentissage de l'algèbre linéaire.

anka_borat · July 2015

MERCI INFINIMENT

)))
C'est bien clair maintenant !

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Bonjour!

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