Jordaniser une matrice

Je me réponds faute de temps pour la suite.
Toute matrice diagonale dont le polynôme caractéristique est scindé est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont des blocs de Jordan de la forme $J_k(\lambda)$.
Plus précisément, étant donné une matrice $A$ dont le polynôme caractéristique est $\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i)^{m_i}$, il existe une matrice inversible $P$ et des entiers naturels $d_{ij}$ ($1\le i\le r$, $j\ge1$) uniques tels que $d_{i1}\ge d_{i2}\ge\cdots$ pour tout $i$ tels que $P^{-1}AP$ est la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont les $J_{d_{ij}}(\lambda_i)$ (à $i$ fixé entre $1$ et $r$, $j$ parcourt les entiers pour lesquels $d_{ij}\ne0$). De plus (calculer le polynôme caractéristique de la matrice obtenue !), on a : $\sum_{j\ge1}d_{ij}=m_i$ pour tout $i$.

Dans l'exemple $\begin{pmatrix}1&-2\\0&2\end{pmatrix}$, la forme de Jordan est donc simplement : $\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$.

L'exemple simple suivant est : $\begin{pmatrix}2&-2\\0&2\end{pmatrix}$, dont la forme de Jordan est : $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ (pourquoi ?).

(Hélas, tout ça ne fait qu'effleurer la question initiale.)

@goldsaint : bref, soit tu as mal lu ton cours, soit ton cours est mal fait et il faudrait que tu en lises un autre.

Salut
Je me permets de faire remonter ce sujet car j'ai une question proche de cette discussion.
La réduction de Jordan nécessite que l'endomoprhisme / la matrice soit à polynome caractéristique scindé.
Cependant il suffit qu'un polynome annulateur (donc le minimal) soit scindé pour que la matrice/l'endomoprhisme soit trigonalisable.

D'où mes questions:

Avez-vous un contre exemple de matrice dont le polynome caractéristique n'est pas scindé mais dont le polynome minimal l'est ? (j'ai l'impression que c'est impossible: si le polynome est scindé alors la matrice est semblable à une matrice triangulaire, et donc son polynome caractéristique est scindé aussi...)

Dans ce cas, a quoi ressemble la matrice triangulaire sup. semblable à cette matrice et comment sera-t-elle différente d'une réduite de Jordan ?

Merci

Il me semble aussi, mais alors il me semble inutile d'avoir l'hypothèse "polynome caractéristique scindé" dans le théorème de Jordan, non ? Il suffit d'avoir "un polynome annulateur est scindé", comme dans les autres théorème de diago/trigonalisation...

Oui, pour moi aussi il me semble que c'est équivalent, et peut-etre que je pinaille un peu à vouloir chercher une cohérence de formulation entre les différents théorèmes (trigonalisation, décomposition de Dunford, réduction de Jordan)...