Sur un exercice du Calais

Le certain ensemble est explicité ? Vu la suite, les matrices doivent être la représentation « de réflexion » de $\mathfrak{S}_3$ dans la base $(e_1,e_2)$ du dessin joint. Autrement dit, les matrices associées aux transpositions $(12)$ et $(23)$, correspondant aux réflexions $s_1$ et $s_2$ sont respectivement :
\[\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}.\]

Si les six matrices sont données, je propose la démarche suivante, bête et méchante (mais comment être subtil si on ne sait pas d'où viennent ces matrices ?) :
1) vérifier que les six matrices données forment un sous-groupe ;
2) constater que la réduction modulo $2$ est une injection (ça doit être évident que les six matrices réduites sont différentes) ;
3) compter le nombre d'éléments de $GL_2(\Z/2\Z)$ ou vérifier qu'on a toutes les transvections (il y en a deux...) et toutes les dilatations (il n'y en a qu'une !) et conclure à la surjectivité.

Je ne comprends pas l'intérêt de réduire modulo $2$ pour écrire la table (de multiplication, n'est-ce pas, pas de caractères ?), ni en fait d'écrire la table pour identifier à $\mathfrak{S}_3$ vu qu'on a déjà le résultat évoqué par GaBuZoMeu, une action de $GL_2(\Z/2\Z)$ sur les trois droites de $(\Z/2\Z)^2$ ou une action sur le triangle rouge du dessin de droite.

Il s'agit de résoudre l'exercice en s'appuyant uniquement sur les connaissances fournies dans le chapitre I dont l'exercice est extrait. Le groupe défini dans Calais (exercice 22 page 65, ancienne édition) est :

$$\Gamma=
\left\{\left(\begin{smallmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}-1 & -1\\1 & 0\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\-1 & -1\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}1 & 0\\-1 & -1\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}-1 & -1\\0 & 1\end{smallmatrix}\right)\right\}
$$

Clairement, $\Gamma\subseteq \text{GL}(2,\mathbb{R})=:G$. Posons $h=\left(\begin{smallmatrix}-1 & -1\\1 & 0\end{smallmatrix}\right)$ et $k=\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{smallmatrix}\right)$. Comme $h^3=k^2=I_2$ on a $H=\left\{I_2, h, h^2\right\}$ et $K=\left\{I_2, k\right\}$ sont des sous-groupes de $G$. D'autre part, un simple examen de 4 produits matriciels montre que $HK=KH$. Ainsi, d'après le cours de Calais chapitre 1 Proposition 1.47, $HK$ est un groupe. Mais les calculs précédents montrent que, d'un point de vue ensembliste, on a $HK=\Gamma$ qui est donc bien un groupe.


D'autre part, la réduction modulo 2 induit un morphisme de groupes $\Gamma \to \text{GL}(2,\mathbb{F}_2)$, de noyau trivial. Par cardinalité, on conclut à l'isomorphisme.

Pour faire du transport de structure, il ne faut pas avoir un produit prédéfini sur l'ensemble sur lequel on veut mettre une structure.

Par exemple, dans ce cas très précis, si on remplace $\Gamma$ par
\[ \Gamma'= \left\{\left(\begin{smallmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}-1 & -1\\1 & 0\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\-1 & -1\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}1 & 0\\-1 & -1\end{smallmatrix}\right),
\left(\begin{smallmatrix}-1 & -1\\0 & 1\end{smallmatrix}\right)\right\},\]
(avec $-I_2$ au lieu de $I_2$) on obtient un ensemble sur lequel la réduction modulo $2$ donne une bijection $\Gamma'\to GL_2(\mathbf{F}_2)$. On peut donc munir cet ensemble d'une structure de groupe grâce à cette application. Dans ce groupe, le neutre est $-I_2$. Tout va bien, $\Gamma'$ est un groupe irréprochable... mais pas un sous-groupe de $GL_2(\Z)$ car le produit n'est pas la restriction du produit matriciel. En effet, par exemple, le carré de $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{smallmatrix}\right)$ calculé dans $\Gamma'$ est $-I_2$ et pas $I_2$.