Espace parfait et Topologie

Hoeg · November 2004

Bonjour,

j'ai un exercice sur les espaces parfaits qui me pose quelques problemes.
Je rappelle qu'on dit que $X$ est \emph{parfait} s'il est sans point isolé et
$Y\subset X$ est parfait s'il l'est en tant que sous-espace de $X$.

La question (certainement évidente) que je me pose est :
est-il correct, pour montrer que $Y\subset X$ est parfait de montrer que l'intersection de tout voisinage de $x$ dans $Y$ avec $Y$ contient strictement $x$?

Merci !

Hoeg.

Rocco · November 2004

Salut

Oui c'est tout à fait ça, et on peut carrément prendre des voisinages ouverts.

Vianney · November 2004

Bonjour,

j'ai un exercice sur les espaces parfaits qui me pose quelques problemes.
Je rappelle qu'on dit que $X$ est \emph{parfait} s'il est sans point isolé et
$Y\subset X$ est parfait s'il l'est en tant que sous-espace de $X$.

La question (certainement évidente) que je me pose est :
est-il correct, pour montrer que $Y\subset X$ est parfait de montrer que l'intersection de tout voisinage de $x$ dans $Y$ avec $Y$ contient strictement $x$?

Merci !

Hoeg.

Hoeg · November 2004

Merci Rocco pour ta reponse et au moderateur pour avoir ajouté la fameuse case...

J'aurais encore une question qui me donne du mal.

On considère $X,Y$ deux espaces métriques et $f ~:~ X\rightarrow Y$ continue.

On note $P_X$ le plus grand sous-espace parfait de $X$. On a deja montré qu'il s'agit d'un fermé de $X$.

Montrer qu'on a equivalence entre
(i) l'image par $f$ de tout parfait de $X$ est un parfait de $Y$
(ii) $\forall y\in Y,~ P_{f^{-1}(y)}=\emptyset$

je pensais avoir reussi a montrer $(i)\Rightarrow (ii)$ en utilisant la continuité et le fait qu'un métrique est séparé mais je n'utilise pas l'hypthèse (i) donc j'imagine que quelque chose cloche...

Si quelqu'un a une idée....
Merci d'avance !

Hoeg.

Hoeg · November 2004

ma question n'a pas l'air d'exciter les foules (ce que je comprends bien d'ailleurs!).
Je poste donc ce que j'ai fait et si une ame charitable peut m'aider...

Si $y\not\in f(X)$ alors on a facilement ce qui est demandé.
Supposons donc $y\in f(x) \subset Y$. Soit $x$ un antécédent de $y$ dans X.
Comme $f$ est continue, $\forall W$ voisinage de $y$, $\exists V\in X$, voisinage de $f^{-1}(y)$ tel que $f(V)\subset W$.
On veut alors montrer que $\exists V'$, voisinage de $x$ tel que $V' \cap X =\{ x\}$.
Si $\exists z\in V$, alors, comme $X$ est métrique, il est séparé et on peut trouver un voisinage $V'$ de $x$ dans $X$ tel que $x' \not\in V'$....il suffirait alors de prendre l'intersection de tous les voisinages de $x$ ainsi obtenus pour avoir le résultat, mais un intersection quelconque d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert donc ma preuve est fausse....

Et en essayant par l'absurde, et en supposant $P_{f^{-1}(y)}$ non vide, je n'y arrive pas non plus. Cela signifie qu'il existe un parfait $P$ de $X$ dont tous les elements sont des antécédents de $y$ par $f$. Par hypothese on a alors $f(P)~(=\{ y\})$ est un parfait de $Y$ mais je n'arrive pas a aboutir a une contradiction (sur la continuité de $f$ je suppose).

Si quelqu'un peut m'aider...

Hoeg.

Hoeg · November 2004

personne n'a envie de faire un peu de topologie?......

scoum · November 2004

bonsoir,

je tente quelque chose... pour la réciproque :
Soit A un parfait de X. Il n'a donc pas de points isolés. Comme tu l'as dit plus haut pour tout ouvert V de x élément de A l'intersection de V et de A n'est pas réduite à x. Si f(A) n'est pas parfait, il a un point isolé f(x). On regarde $P_{f^{-1}(f(x))}$. Par hypothèse cet ensemble doit être vide. De plus f est continue i.e. si y est dans un voisinage de x, f(y) est dans un voisinage de f(x). Cela signifie donc que si y est "proche" de x, f(y)=f(x) car f(x) est isolé. En particulier $P_{f^{-1}(f(x))}$ contient un voisinage de x et n'est donc pas vide ! Je pense que l'idée est là, reste à l'écrire proprement...

pour le sens direct, si il existe y tel que $P_{f^{-1}(y)}$ soit non vide. Il s'agit par définition d'un parfait. Son image doit donc être un parfait. Cette image est y. Un singleton est-il parfait ?? (la définition n'est pas très claire sur ce point je trouve)....

++scoum

Vianney · November 2004

bonsoir,

je tente quelque chose... pour la réciproque :
Soit A un parfait de X. Il n'a donc pas de points isolés. Comme tu l'as dit plus haut pour tout ouvert V de x élément de A l'intersection de V et de A n'est pas réduite à x. Si f(A) n'est pas parfait, il a un point isolé f(x). On regarde $P_{f^{-1}(f(x))}$. Par hypothèse cet ensemble doit être vide. De plus f est continue i.e. si y est dans un voisinage de x, f(y) est dans un voisinage de f(x). Cela signifie donc que si y est "proche" de x, f(y)=f(x) car f(x) est isolé. En particulier $P_{f^{-1}(f(x))}$ contient un voisinage de x et n'est donc pas vide ! Je pense que l'idée est là, reste à l'écrire proprement...

pour le sens direct, si il existe y tel que $P_{f^{-1}(y)}$ soit non vide. Il s'agit par définition d'un parfait. Son image doit donc être un parfait. Cette image est y. Un singleton est-il parfait ?? (la définition n'est pas très claire sur ce point je trouve)....

++scoum

Hoeg · November 2004

merci de t'etre pencher sur mon probleme scoum.
Pour la reciproque, je l'ai fait (meme raisonnement que toi en "redigé"!).
Pour le sens direct qui me pose probleme un singleton peut etre parfait (du moins il me semble).

Piston · November 2004

salut hoeg
pour moi un singleton n'est pas parfait car y appartient à {y} et il est bien isolé dans {y} , non?
Sinon j'aurais aimé savoir pourquoi si on considère D l'ensemble des points isolés de X on n'a pas X=PxUD?
Merci d'avance.

Hoeg · November 2004

C'est une question que je me pose pour le singleton...je pense effectivement qu'un singleton est un point isole mais c'est vrai que la definition me laisse perplexe.

On a $\overline{X}=P_X \cup D_X$ il me semble. Pour montrer ca, tu utilises le th qui dit que tout point $x$ d'un metrique $\overline{X}$ est limite d'une suite $(x_n)_{n\in\N}$ de points de $X$.
Alors soit $\exists m$ tel que $\forall n>m,~ x_n=x$ auquel cas $x$ est isole, soit on n'a pas ceci et alors $x$ n'est pas isolé (et c'est un point d'accumulation). Donc $\overline{X}\subset P_X \cup D_X$ et l'inclusion reciproque est immediate.

Sinon, comme je pense que tu es aussi au tele6, as tu fait la derniere question? (et as-tu deja renvoyé le DM?)

Hoeg

Hoeg · November 2004

l'enonce exact du theoreme est : Dans un espace metrique, tout point adherent a une partie $X$ est limite d'un suite d'éléments de $X$

Hoeg

Piston · November 2004

bien vu!
non j'ai pas encore renvoyé le dm et toi?
pour l'instant j ai pas encore fait la derniere question toi?
t as regardé le nouveau dm?
merci pour les autres indications

Hoeg · November 2004

non j'ai pas encore fait la derniere question, ni renvoyé le DM (incomplet), ni encore vraiment regardé le nouveau DM (qui a l'air sympa)....j'ai l'impression d'etre un peu depassé mais je vais refaire mon retard et je pense que j'enverrai les 2 DMs en meme temps en fait.
Sinon je trouve quand meme que le cours manque parfois de clarté, mais avec le cours de topo de Choquet a coté ca va beaucoup mieux en fait !

Et tu fais quoi comme autre matiere ? (moi je fais LM 380, Analyse Numerique et Hilbertienne...)

JC5 · November 2004

Bonjour,

Je crois qu'il serait bien de voir ces espaces parfait comme un ensemble de points d'accumulation.

Pour l'application i) donne ii).

On montre d'abord que si $P_{f^{-1}(y)}$ est non vide, $P_{f^{-1}(y)}=f^{-1}(y)$. Ceci utilise la continuité de $f$. En effet, si $x \in P_{f^{-1}(y)}$, il existe alors une suite $\textbf{injective}$ (i.e constituée de termes 2 à 2 distincts) $x_n$ de $f^{-1}(y)$ qui converge vers $x$, par suite, $f(x_n)$ converge vers $f(x)$ et est à la fois la suite constante à termes égaux à $y$, par unicité de la limite, $y=f(x)$ d'où $x \in f^{-1}(y)$, on conclut que $P_{f^{-1}(y)}=f^{-1}(y)$ par double inégalité.

Ensuite, on a alors $f(P_{f^{-1}(y)})= \{y\}$ qui est parfait.

Or $\{y\}$ a un élément isolé: $y$, (il n'y a pas d'ambiguïté là-dessus). Ceci contredit que $\{y\}$ est parfait...donc $P_{f^{-1}(y)}$ est vide.

Piston · November 2004

je pense comme toi et moi je fais mesure et intégration en autre U.E.
Sinon tu passes les partiels qui viennent fin novembre?
Au fait tu fais quoi à côté de la licence?

Hoeg · November 2004

merci à jc....
Je ne pense pas passer les partiels fin Novembre (je risque davoir deja les miens à passer).
Autrement je suis en 4eme année en ecole d'ingé (départ' maths)....mais pas Centrale Paris (si je ne me trompe pas) !
Est-ce Mazet qui fait le cours d'intégration cette année ou pas ? Le cours de Mazet a l'air tres bien fait.

Piston · November 2004

tu ne te trompes pas et non c'est pas mazet c'est gabet.
au fait t'as trouvé& tous les exemples de la question 4 si oui tu pe me dire ce que t as mis parce que moi a part le premier les autres j'ai du mal à voir.

Espace parfait et Topologie

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