Montrer que n!=o(n^n)

Laveméninges · June 2015

Bonjour à tous,

Le nom du sujet est assez explicite, il s'agit de montrer que n!=o(n^n). J'ai pensé utiliser la formule de Stirling, le résultat tombe tout seul mais je trouve ça vraiment bourrin.
Du coup, je vous sollicite communauté mathématique 2.0 pour voler à mon secours. Avez-vous en tête quelque chose de plus saillant ?
Merci par avance.

[James Stirling (1692-1770) prend toujours une majuscule. AD]

Jer anonyme · June 2015

Après un coup de logarithme, on se ramène à comparer $\sum_{k=1}^n k\ln k$ et $n\ln n$. Une comparaison avec une intégrale devrait faire l'affaire. C'est d'ailleurs une étape d'une approche classique de la formule de Stirling.

Siméon · June 2015

$$
\frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n}
$$

acx01b · June 2015

petit $o$ ? $\displaystyle \frac{n!}{n^n} = \prod \frac{k}{n} < \frac{1}{2^{\lfloor n/2 \rfloor}}$ ?

Laveméninges · June 2015

Merci pour vos réponses c'est très intéressant ^^

Jer anonyme -> J'ai fait ce que tu as suggéré, on se retrouve à chercher à démontrer la divergence d'une série vers - l'infini pour pouvoir, par continuité de ln, conclure sur la convergence vers 0 de (n!)/(n^n). En effet, on peut utiliser la comparaison série intégrale pour montrer que le terme générale de la série constituée des logarithmes est divergeant. Ca marche mais je trouve ça lourd.

Siméon -> Parfait c'est exactement ce que je cherchais ! Ptain il suffisait d'ouvrir les yeux, quel pragmatisme ! Merci

acx01b -> C'est de la majoration au poil de cul ton truc ! Je ne vois pas comment tu fais, c'est ton instinct qui parle ou t'as une démo ? ^^

Utilisateur anonyme · June 2015

@Laveméninges : la preuve d'acx01b utilise le fait qu'environ la moitié des facteurs sont inférieurs à $1/2$. Il reste à préciser ce "environ" :-).

acx01b · June 2015

Laveméninges : avec des $\lfloor n/d \rfloor$ on arrive à des formules cool

$$\ln n! = \sum_{p \le n} \ln p \sum_{k\ge 1} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor$$

c'est la formule que Chebyshev a utilisé pour commencer le prime number theorem.

Joaopa · June 2015

Et merde, le théorème des nombres premiers n'existe pas dans les pays francophones. On est mal.

Laveméninges · June 2015

((H)) Ah en effet merci pour tes lumières

acx01b Je n'ai pas de connaissances sur les nombres p-adique et sur leur utilité. Donc clairement pas le niveau pour entrevoir combien cette formule est cool ^^

Joaopa Je ne comprends pas la pertinence de ton intervention. S'il n'existe pas chez nous, va donc nous pondre une démo. Ce sera l'occasion pour toi de briller !

EDIT : La majoration de Siméon est quand même plus fine, plus directe et plus esthétique :P

baston labaffe · June 2015

@Laveméninges : sans vouloir parler à la place de Joaopa, je pense que ce dernier voulait faire remarquer à acx01b qu'au lieu d'écrire "prime number theorem" en plein milieu de sa phrase pourtant écrite en français (ce qui fait un peu ridicule, en effet : ou bien on écrit tout en français ou bien tout en anglais, mais le mélange n'est pas terrible...), il aurait pu tout simplement écrire "théorème des nombres premiers".

Laveméninges · June 2015

baston labaffe -> Han si c'est le cas je suis vraiment désolé !.. Je croyais qu'il me reprochait de pas connaître ce théorème XD Je dois être un peu parano (:P)
On me reproche tellement souvent de ne pas connaître mon cours, ça finit par affecter jusqu'à mon inconscient haha

baston labaffe · June 2015

Il n'est parfois pas évident de décrypter les messages sur les forums.

Par exemple, quand je lis Samok, un intervenant qui a l'habitude d'écrire sous forme plus ou moins poético-lyrique, il me faut généralement plusieurs lectures pour en comprendre le sens (quand j'y arrive effectivement).

Je rappellerais aussi à acx01b que Chebyshev n'a pas démontré le TNP, même s'il en a ouvert le chemin, et on sait aujourd'hui que sa méthode ne pouvait pas aboutir (Erdös, Diamond). Ce TNP a d'abord été démontré par des moyens analytiques (séries de Dirichlet et sommation de Perron) par Hadamard et de La Vallée Poussin en 1896, puis par des moyens dits "élémentaires" (estimations sur des fonctions arithmétiques liées au logarithme) par Erdös et Selberg en 1949, chaque couple de mathématiciens ayant travaillé indépendamment l'un de l'autre.

Montrer que n!=o(n^n)

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