Intégrale d'une fonction décroissante

Jacky9393 · June 2015

Bonjour à tous,

Soit $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ continue, décroissante, positive et intégrable sur $\mathbb{R}_+$. J'ai montré que au voisinage de l'infini $f(t)=o(1/t)$. Mais est-t-il vrai que $f(t)=o(\frac{1}{t\ln t})$ ?
Je suis incapable de confirmer ou d'infirmer cela !

Merci d'avance !

ujjhth · June 2015

je ne crois pas

Siméon · June 2015

Soit $(x_n)$ une suite qui croît assez vite vers $+\infty$, par exemple $x_n = 2^{n^2}$. Alors on peut trouver une interpolation $f$ continue décroissante et intégrable telle que $f(x_n) = \frac{1}{x_n \log(x_n)}$ pour tout $n \geq 1$.

Jacky9393 · June 2015

Effectivement, on a pas forcément $f$ négligeable devant $1/(t \ln t)$, très intéressant comme méthode Siméon !

baston labaffe · June 2015

Que penser de la fonction
$$t \longmapsto \frac{1}{(t+1)\ln \ln (t+e^2)} \ ?$$

rakam · June 2015

Bonjour !
Je pense qu'elle n'est pas intégrable puisque positive et équivalente en $+\infty$ à $\dfrac1{t\ln(\ln t)}$

Peut-être y a-t-il erreur d'énoncé ? $e^t$ ou $t^2$ à la place de $e^2$ ? Dans les deux cas cela me semble toujours non intégrable !

baston labaffe · June 2015

C'est vrai.

Intégrale d'une fonction décroissante

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