Polynômes à 3 variables

silversky
silversky
dans Analyse
Bonjour, je suis actuellement en train de travailler sur l'exo suivant.

Soit $P$ un polynôme homogène de degré $d$ à 3 variables $x,y,z$ et tel que $P(x,y,z) > 0$ pour tout $(x,y,z)$ tel que $x \geq 0$, $y \geq 0$ et $z \geq 0$, non tous nuls. Il s'agit de montrer qu'il existe un entier $n$ et un polynôme $Q$ à coefficients strictement positifs tels que $P(x,y,z) = \dfrac{Q(x,y,z)}{(x+y+z)^n}$. J'ai donc décomposé $P$ dans la base des monômes de degré $d$, et je calcule : \begin{align*}
P(x,y,z) (x+y+z)^n &= \left (\sum_{k_1 + k_2 + k_3 = n} \frac{n!}{k_1 ! k_2 ! k_3 !} x^{k_1} x^{k_2} x^{k_3} \right ) \left (\sum_{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = d} \lambda_{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3} x^{\alpha_1} y^{\alpha_2} z^{\alpha_3} \right ) \\
&= \sum_{\substack{k_1 + k_2 + k_3 = n\\ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = d} } \frac{n!}{k_1 ! k_2 ! k_3 !} \lambda_{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3} x^{k_1 + \alpha_1} y^{k_2 + \alpha_2} z^{k_3 + \alpha_3}
\end{align*} en utilisant la formule du multinôme de Newton. Je suis alors assez bloqué : je ne vois pas du tout comment traduire l'hypothèse de positivité sur $P$ et l'exploiter. Si quelqu'un a une idée, je suis preneur. Merci d'avance.

Réponses

  • Orichan
    Orichan
    Bonjour,

    Personnellement je partirais en utilisant l'hypothèse de positivité + d'homogénéité afin de prouver que les tous les coefficients de P sont positifs.
  • silversky
    silversky
    Pourquoi l'énoncé aurait été posé alors ?

    Et puis prend par exemple $x^3+y^3+z^3 - xyz$
  • Orichan
    Orichan
    Ok je suis allé trop vite ;)
    P est à coefficients dans R ? si oui je suis sceptique 8-)
  • silversky
    silversky
    $P$ est à coefficients dans $\mathbb{R}$, c'est un exo posé aux ENS il y'a 2-3 ans, non il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé. Si tu prends l'exemple que j'ai donné ci-dessus on remarque que $n = 7$ fonctionne.
  • Orichan
    Orichan
    Ok ca marche. La seule facon d'obtenir des coefficients strictements positifs pour Q, c'est d'éliminer les termes provenants des coefficients négatifs de P (dans ton exemple le -1 de xyz) par les produits des autres termes.
    Je m'imagine donc que tous les termes provenants de -xyz * (x+y+z)^n doivent pouvoir être éliminés par des combinaisons des Cnk et des coefficients de P positifs.
    D'ou ma question précédente, si l'on prend un coefficient négatif de P transcendant...
  • 000
    000
    c'est corrigé dans la RMS
  • silversky
    silversky
    - je ne suis pas abonné

    - je me fiche d'une correction complète, je souhairerais des indications pour pouvoir progresser
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Le résultat est vrai pour n'importe quel nombre de variables. C'est un théorème de Polya (1928).
  • silversky
    silversky
    5 réponses, et pour l'instant rien de m'aide du tout...
  • Poirot
    Poirot
    Quelle délicatesse à l'égard des intervenants. Ce n'est pas parce qu'il ne parvienne pas à t'aider qu'ils méritent que tu répondes sur ce ton.
  • silversky
    silversky
    Désolé d'être légèrement frustré, mais bon pour l'instant ce qu'on m'a dit :

    - l'énoncé doit être faux

    - c'est corrigé dans la RMS

    - c'est un théorème de Polya

    Désolé mais autant rien dire... (pardon si j'ai blessé quelqu'un hein, ce n'était pas mon intention)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Poser $$P_t(x_1,x_2,x_3)=\sum_{\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=d}\lambda_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}\prod_{i=0}^{\alpha_1-1}(x_1-i/t) \prod_{j=0}^{\alpha_2-1}(x_2-j/t) \prod_{k=0}^{\alpha_3-1}(x_3-k/t)\;.$$
    1°) Montrer que $P_t$ converge uniformément vers $P$ sur le compact des $(x_1,x_2,x_3)$ tels que $x_1\geq 0$, $x_2\geq0$, $x_3\geq 0$, $x_1+x_2+x_3=1$ quand $t\to \infty$.
    2°) Montrer que $$P(x_1,x_2,x_3)(x_1+x_2+x_3)^n=n!\,(n+d)^d\,\sum_{j_1+j_2+j_3=n+d}\frac{P_{n+d}\left(\frac{j_1}{n+d},\frac{j_2}{n+d},\frac{j_3}{n+d} \right)}{j_1!\,j_2!\,j_3!}\,x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3}\;.$$
    3°) Conclure.
  • silversky
    silversky
    Un grand merci !! (tu)
  • baston labaffe
    baston labaffe
    Un petit coup de gueule en passant !...

    Ce n'est pas parce que l'on a pas reçu sa petite indication pour son petit exercice personnel que les réponses sont bonnes à jeter.

    Rappelons qu'il y a beaucoup plus de lecteurs que d'intervenants à chaque sujet, et que toute réponse, si elle n'aide pas directement le demandeur, peut aider et/ou intéresser tout autre lecteur du sujet.

    Par ailleurs, je trouve que la première réponse de GaBuZoMeu ci-dessus est d'une importance capitale à double titre :

    1. Elle confirme la validité de l'énoncé et le généralise.

    2. Elle donne une référence solide sur le résultat.

    Ainsi, si j'avais été l'étudiant silversky, avec le renseignement de GaBuZoMeu, je serais allé très vite dans une BU ou sur le net pour en savoir un peu plus quant à une éventuelle démonstration du théorème de Polya, ce dernier étant un mathématicien très connu, cela ne devrait poser aucun problème pour trouver tout ça.
  • silversky
    silversky
    Je répète que je ne cherche pas à lire des démonstrations, mais à chercher moi-même !

    Ok pour l'intêret des réfèrences, tant mieux si les réponses ont intéressé du monde, et merci encore à GaBuZoMeu pour ses indications.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ces indications sont juste une version abrégée de la démonstration de Polya (qui marche pour un nombre quelconque de variables). Je ne sais pas si la limitation à trois variables permet une simplification, en tout cas je ne la vois pas. A défaut de cette simplification miracle, l'"exercice" donné tel quel me semble un peu vache.
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