constante d'Euler "généralisée"

totem
totem
dans Analyse
Bonjour,

Pour alpha <1 , la suite des sommes partielles de terme 1/kalpha est équivalente à n1-alpha / (1-alpha)

Du coup, je me demandais si, à la manière de la constante d'Euler, il existait des constantes vers lesquelles convergeaient les suites de terme général (somme de k=1 à n 1/kalpha) - n1-alpha / (1-alpha) ) ?

Par exemple avec alpha = 1/2, si la suite des sommes de k=1 à n 1/k1/2 - 2n1/2 convergeait...?

Merci.

PS: je me suis renseigné sur les constantes de Stieltjes mais il semble que cela ne soit pas tout à fait la même chose...

Réponses

  • Héhéhé
    Héhéhé
    Y'a des généralisations de la constante d'Euler sur la page wikipédia.
  • discret
    discret
    Plus généralement, la formule de sommation d'Euler-McLaurin fournit le résultat suivant.

    Soit $a >0$. Si $f$ est continue sur $[a,+\infty[$ strictement positive, décroissante et tendant vers $0$ à l'infini, alors la limite
    $$\lim_{x \to \infty} \left( \sum_{a < n \leqslant x} f(n) - \int_a^x f(t) \, \textrm{d}t \right)$$
    existe et est finie. Notons-la $\gamma_f$. Alors, pour tout $b > a$
    $$\left | \sum_{a < n \leqslant b} f(n) - \int_a^b f(t) \, \textrm{d}t - \gamma_f + \psi(b) f(b) \right | \leqslant \frac{f(b)}{2}$$
    où $\psi(t) = t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2}$ est la première fonction de Bernoulli.
  • totem
    totem
    Merci !
  • jandri
    jandri
    $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k^{\alpha}}-\frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ converge vers $\zeta(\alpha)=\displaystyle\frac{\eta(\alpha)}{1-2^{1-\alpha}}$ (fonctions $\zeta$ de Riemann et $\eta$ de Dirichlet) mais seulement pour $0<\alpha<1$.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    je confirme la limite donnée par jandri

    attention donc à la limite pour $\alpha = \frac{1}{2}$ il s'agit bien de :

    limite pour $n$ infini de $\Sigma_1^n\frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n} = \zeta(\frac{1}{2}) = - 1,460354509......$

    cordialement
  • totem
    totem
    @jandri et jeanlimsonde : excusez-moi mais comment Zeta (alpha) peut exister quand alpha < 1 ? je ne comprends pas.
    je croyais que Zeta n'était définie que pour alpha > 1...déjà la série harmonique diverge...

    Merci !
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Par prolongement holomorphe.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • jandri
    jandri
    @totem
    En restant dans l'ensemble des réels on peut définir, pour $0<\alpha<1$:
    $\zeta(\alpha)=\displaystyle\frac{\eta(\alpha)}{1-2^{1-\alpha}}$ avec $\eta(\alpha)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha}}$ (qui converge bien car $\alpha>0$).
  • totem
    totem
    Merci jandri, je ne savais pas qu'il existait une autre fonction Zeta "en-dessous" de 1...
    Et en 1 on peut "prolonger" ? vu que la série harmonique alternée converge vers Ln(2) ?
  • jandri
    jandri
    C'est une extension à l'intervalle ]0,1[ de la fonction $\zeta$ définie sur $]1,+\infty[$: elle coincide avec le prolongement holomorphe de $\zeta$.
    Mais on ne peut pas prolonger en 1 (d'ailleurs cela donnerait $\dfrac{\ln 2}0$ qui n'a pas de sens).
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonsoir

    Non attention totem, pour s = 1 n'existe pas la fonction riemanienne Zeta $$\zeta(s) = \sum_1^{+\infty}\frac{1}{k^s}
    $$ Ni dans dans sa forme sérielle, ni dans son prolongement analytique.
    Tu le vérifies dans son lien avec la série alternée rappelée par jandri comme d'ailleurs dans sa relation fonctionnelle avec $\zeta(1-s)$. Par contre pour $s < 1$ le prolongement analytique permet de définir $\zeta(s)$.

    Cordialement.
  • totem
    totem
    Merci.

    C'est quoi un prolongement holomorphe en quelqes mots ???
    Je connais les prolongements par continuité mais je pense qu'il n'y a aucun rapport...
  • Link
    Link
    C'est une fonction holomorphe g définie sur un ouvert contenant le domaine de définition d'une autre fonction f et qui coïncide avec f sur le domaine de définition de f.

    Si il existe il est forcément unique, car deux fonctions holomorphes coïncidant sur un ouvert sont égales. Donc si g1 et g2 sont prolongements holomorphe de f, ils coïncideront sur le domaine de définition de f et donc g1=g2.

    Il s'avère que pour la série dont on parle sur ce topic, qui est une fonction f définie sur (Rez >1, z complexe) admet un prolongement holomorphe g sur C privé de {1} c'est ce que l'on appelle fonction Zêta de Riemann.
  • totem
    totem
    J'ai pas tout compris mais merci !
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