Rationnels

Bonjour,
Que peut-on penser de la matrice des coordonnées de tes trois vecteurs dans la base canonique de $ \mathbb Q^3$ ?

Je détaille la réponse de Jacquot. Donnons-nous trois vecteurs $v_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix}$, $v_2=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{pmatrix}$, $v_3=\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{pmatrix}$ dans $\Q^3$ et introduisons la matrice $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le 3}$.

Si on est savant, on peut dire que $(v_1,v_2,v_3)$ est liée dans $\Q^3$ (resp. dans $\R^3$) SSI le déterminant de $A$ calculé comme matrice de $\mathcal{M}_3(\Q)$ (resp. $\mathcal{M}_3(\R)$) est nul. Mais bien sûr, le déterminant de $A$ ne dépend pas du corps dans lequel on considère les coefficients.

Si on est moins savant, on peut se rappeler que le rang de la famille $(v_1,v_2,v_3)$ est le rang de la matrice $A$ et que le rang ne change pas par des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Or, grâce à l'algorithme du pivot de Gauss, on peut transformer en faisant des opérations « à coefficients rationnels » (c'est-à-dire des permutations des rangées (les lignes $L_i$ et les colonnes $C_i$) et des transformations de la forme $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$ ou $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ avec $j\ne i$ et $\alpha$ rationnel) en une matrice de la forme : $\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}$. Il est clair que le rang de cette matrice ne dépend pas du fait qu'on la considère comme une matrice à coefficients rationnels ou réels ; il en est donc de même de $A$.

En un slogan : le rang est invariant par extension des scalaires.