Dimension de Hausdorff et sous-corps de R
Bonjour
Depuis pas mal de temps je cherche à fabriquer des sous-corps de $\mathbb{R}$ un peu bizarres. Je les cherche non dénombrables (distincts de $\mathbb{R}$) et boréliens.
Je vous explique d'abord comment j'ai prouvé leur existence (cela requière de connaître la notion de dimension de Hausdorff). Voici les étapes.
1. Fabriquer un compact de $\mathbb{R}$ de dimension nulle non dénombrable (en gros, un Cantor généré en ne gardant à chaque étape que $2^{-n^2}$ de ce qu'il y avait à l'étape précédente de sorte que l'intersection de toutes les étapes ne laisse qu'un ensemble hyper lacunaire mais quand même non dénombrable).
2. Montrer que le corps engendré par un compact de dimension nulle est un sigma compact (donc borélien) et de dimension nulle (donc distinct de $\mathbb{R}$).
Mon problème est que je ne sais pas s'il existe de tels sous-corps de dimension strictement comprise entre 0 et 1. Mieux, peut-on en fabriquer avec une dimension fixée à l'avance strictement entre 0 et 1 ?
En espérant que cela intéresse certains.
Depuis pas mal de temps je cherche à fabriquer des sous-corps de $\mathbb{R}$ un peu bizarres. Je les cherche non dénombrables (distincts de $\mathbb{R}$) et boréliens.
Je vous explique d'abord comment j'ai prouvé leur existence (cela requière de connaître la notion de dimension de Hausdorff). Voici les étapes.
1. Fabriquer un compact de $\mathbb{R}$ de dimension nulle non dénombrable (en gros, un Cantor généré en ne gardant à chaque étape que $2^{-n^2}$ de ce qu'il y avait à l'étape précédente de sorte que l'intersection de toutes les étapes ne laisse qu'un ensemble hyper lacunaire mais quand même non dénombrable).
2. Montrer que le corps engendré par un compact de dimension nulle est un sigma compact (donc borélien) et de dimension nulle (donc distinct de $\mathbb{R}$).
Mon problème est que je ne sais pas s'il existe de tels sous-corps de dimension strictement comprise entre 0 et 1. Mieux, peut-on en fabriquer avec une dimension fixée à l'avance strictement entre 0 et 1 ?
En espérant que cela intéresse certains.
Réponses
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Si tu prends un ensemble de dimension de Hausdorff dans $]0;1[$, est-il possible que la somme de cet ensemble avec lui-même ait la même dimension ?
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Pourquoi pas ?
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bosio frédéric écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1084739,1084839#msg-1084839
[Inutile de répéter un message déjà présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Par exemple, pour le Cantor $C$ usuel, sa dimension est $\ln(2)/\ln(3)$. Mais $C+C$ contient un intervalle donc a pour dimension 1. Il n'y a donc pas de lien évident entre la somme des dimensions et la dimension d'une somme. -
Bonjour,
Je trouve la question intéressante, mais suis sans idée pour l'instant. Par curiosité, comment montrez-vous que $C+C$ contient un intervalle ? -
Les éléments de $C$ sont les réels de la forme $\sum_{n>0}2b_{n}3^{-n}$ où $b\in\left\{ 0;1\right\} ^{\mathbb{{N}^{*}}}$.
$$\sum_{n>0}2b_{n}3^{-n}+\sum_{n>0}2b'_{n}3^{-n}=2\sum_{n>0}\left(b_{n}+b_{n}'\right)3^{-n}$$ Comme $b_{n}+b_{n}'\in\left\{ 0;1;2\right\} $, la somme $\sum_{n>0}\left(b_{n}+b_{n}'\right)3^{-n}$ peut décrire tous les réels de l'intervalle $\left[0;1\right]$ (développement tryadique). -
Dans le livre de Mattila "Geometry of sets and measures in euclidean spaces", dans le chapitre sur la transformation de Fourier, il y a un paragraphe sur les sous-anneaux de R et leur dimension de Hausdorff.
Je n'ai pas le livre sous la main, et je ne me souviens plus de ce qui y est dit exactement, mais je pense que c'est susceptible de t'intéresser, et il y a surement beaucoup de références à la littérature, comme c'est le cas partout ailleurs dans le livre de Mattila. -
@Melchior : J'ai justement posé cette même question il y a quaelques jours en devoir maison à des M1. La preuve que je préconisais (sans doute pas la seule) consistait à montrer que si tu prends deux intervalles compacts de même longueur et que tu retires à chacun son tiers central (ouvert), la somme des deux parties obtenues est égale à la somme des deux intervalles de départ. Une petite récurrence montre qu'en répétant le processus avec chacun des nouveaux petits intervalles, tu conserve la même somme et un petit raisonnement topologique pertmet de conclure pour le Cantor triadique lui-même.
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Merci ! J'ai lu un extrait disponible sur le net juste assez long pour voir qu'un sous anneau a ou bien une dimension inférieure ou égale à 1/2 ou bien égale à 1.
Ca ne me rassure pas sur la résolubilité de mon problème !! -
J'ai pu accéder à ce paragraphe, et il y est dit la chose suivante : " Also the sharpness of Theorem 12.15 is unknown; it may be that any Borel subring of the reals must have Hausdorff dimension 0 or 1. The problem is also open for the subfields."
Donc visiblement, la question est ouverte. Ou était ouverte, le livre accuse déjà une quinzaine d'années, et des progrès ont peut-être été faits depuis. Dans tous les cas, la question est non triviale. -
Aie !! Bon je crains que je n'aie pas assez de talent pour résoudre mon problème. Merci pour la référence.
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Voici un tel ensemble, borélien et non dénombrable (page 30 en bas)
http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/levy/LM364_Integration-Lambert.pdf -
Bonsoir Link,
L'ensemble donné page 30 est un borélien non dénombrable de mesure nulle.
Ce n'est pas un corps. Et le corps engendré par ce Cantor C est R tout entier (ce que nous ne voulons pas).
Sa dimension de Hausdorff est ln(2)/ln(3). Par contre le corps engendré par C est R (et n'a donc pas une dimension de Hausdorff comprise strictement entre 0 et 1).
D'après une remarque de Terence Tao sur son blog, il semblerait qu'il ait été démontré que le corps que je cherche à construire n'existe pas. -
Source: "In the case of Borel-measurable subfields, the Hausdorff dimension must be either 0 or 1, a result of Edgar and Miller (answering a question of Erdos and Volkmann): http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1948103 . There is a more technical quantitative version of this, due to Bourgain, which has a number of important applications such as in the theory of expander graphs (and most recently, in the Kakeya problem): http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1982147
I don’t know what happens if the hypothesis of Borel measurability is dropped; the question may be sensitive to the axioms of set theory in the ambient mathematical universe." -
Ah oui pardon j'ai zappé le fait que tu le voulais un corps aussi.
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Oui et aussi que la dimension de Hausdorff soit strictement comprise entre 0 et 1.
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Bonjour!
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