Irréductibilité

yan2
yan2
dans Algèbre
Bonjour,

je dois vous avouer que je n'arrive pas à résoudre, avec les notions du programme prépa scientifique, l'exercice suivant (tombé à l'oral d'une grande école d'ingénieurs) :

Soient $n\in {\mathbb N}^*$ et $p$ un nombre premier. Montrer que le polynôme $Q=X^n+X^{n-1}+\cdots+X+p$ est irréductible sur ${\mathbb Z}[X]$.

Merci.
For every seemingly unmotivated solution to a problem, there is a deeper insight that makes it self-evident.

Réponses

  • Klice
    Klice
    Il me semble que le critère d'Eisenstein peut fonctionner dans ce cas. Ceci http://fr.wikipedia.org/wiki/Critère_d'Eisenstein#Exemples peut éventuellement être un début de piste.
  • baston labaffe
    baston labaffe
    On devrait pouvoir montrer le lemme suivant en prépa.

    Lemme. Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ tel que $P \neq \pm 1$ et $|P(0)|$ est un nombre premier. Si $P$ n'a aucune racine dans le disque $\{ |z| \leqslant 1 \}$, alors $P$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$.

    La démonstration, par l'absurde, n'est pas très longue, ni vraiment difficile.

    Ici, $P(0) = p$ premier. La difficulté va être de vérifier que $P$ n'a aucune racine dans $\{ |z| \leqslant 1 \}$ au niveau cpge. Le critère de Eneström-Kakeya indique que les racines de $P$ sont dans la couronne $1 < |z| \leqslant p$, ce qui tue l'exercice.
  • Pea0
    Pea0
    Ne peut-on appliquer le critère d'Eisenstein a $P(X+2p)$?
  • JLT
    JLT
    Je détaille la méthode de baston labaffe.

    1) Si $P$ n'était pas irréductible dans $\Z$, alors il aurait un facteur non constant $Q\in \Z[X]$ tel que $Q(0)=1$. Alors le produit des racines de $Q$ a un module $\leqslant 1$, donc $Q$ a une racine de module $\leqslant 1$.

    2) Supposons que $z$ soit une racine de module $\leqslant 1$ de $P$. Alors $z^{n+1}=1+(p-1)(1-z)$ a une partie réelle $\geqslant 1$, avec égalité lorsque $z=1$. Or, $P(1)\ne 0$, contradiction.
  • yan2
    yan2
    merci à tous (tu)
    For every seemingly unmotivated solution to a problem, there is a deeper insight that makes it self-evident.
  • baston labaffe
    baston labaffe
    Bien vu, JLT, pour le second point.
  • Mim7
    Mim7
    Quelle coïncidence, je suis tombé sur cet exercice aujourd'hui même et je comptais le postuler.

    Merci pour vos solutions donc xD
  • baston labaffe
    baston labaffe
    @Pea : Pourrais-tu détailler, stp ?

    En développant, j'ai (sauf erreur, bien entendu)
    $$P(X+2p) = X^n + \sum_{j=1}^{n-1} a_j X^j + p \left( 2 \frac{(2p)^n-1}{2p-1} + 1 \right)$$
    où $\displaystyle a_j := 1 + \sum_{k=j+1}^n {k \choose j} (2p)^{k-j}$. Pas simple d'appliquer Eisenstein , non ?
  • Pea0
    Pea0
    Oui je sais, j'ai juste raconté n'importe quoi. (et m'en suis aperçu trop tard!)
  • baston labaffe
    baston labaffe
    OK. Ce sont des choses qui arrivent, mais je voulais en être sûr.

    Merci.
  • emilie1
    emilie1
    Bonjour,
    Je cherche des références "élémentaires" pour établir des irréductibilités sur $\mathbb Z (\mathbb Q)$ de polynômes, autres que le critère d'Einsenstein, ou divers plongements dans $\dfrac {\mathbb Z}{p\mathbb Z}$.
    Ceci concerne le polynôme $X^n+X^{n-1}+...+X^2+X+p$ où $p$ est un nombre premier et $n$ un entier .
    D'avance merci.
  • AP3
    AP3
    voir ici le fil intitulé
    irréductibilité
    dont le dernier message date de 2 semaines

    [Discussions fusionnées. AD]
  • emilie1
    emilie1
    Merci pour le fil. Bonne journée.
  • baston labaffe
    baston labaffe
    Heu...C'est quoi, $\mathbb{Z} (\mathbb{Q})$ ?
  • AP3
    AP3
    L'auteur de la question a certainement voulu dire :
    irréductibilité sur Z[X], sur Q[X]
  • baston labaffe
    baston labaffe
    Oui, moi aussi j'ai deviné cela, mais ma question, écrite volontairement sous forme naïve, a pour but de faire confirmer ça par le demandeur...s'il (ou elle) est encore parmi nous.
  • emilie1
    emilie1
    Oui, c'était Z ou Q..... Bonne journée.
  • baston labaffe
    baston labaffe
    OK. Mais tu aurais dû noter quelque chose comme : "irréductibilité sur $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$".

    Cela dit, il faut bien faire attention aux notations (des notations comme $\mathbb{Q} (\sqrt{5})$ existent), et aussi aux habitudes : on dit généralement $P$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$ ou bien dans $\mathbb{Z}[X]$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français