Équivalent de somme / intégrale

Amaury_H
Amaury_H
dans Analyse
Bonjour à tous
Je cherche un équivalent quand $ n \to +\infty $ de la quantité suivante (pour $ c > 0 $ fixé) $$ a_n(c) := \sum_{k = 1}^n \frac{1}{ 1 + c k \log n }
$$ On peut aussi écrire $$ a_n(c) = \int_0^{+\infty } \frac{ e^{-ct \log n } - e^{-ct n\log n } }{1 - e^{-ct \log n } } e^{-t }dt = \frac{1}{c \log n} \int_0^{+\infty } \frac{ e^{-u } - e^{- n u } }{1 - e^{-u } } e^{-u/(c \log n) } du
$$ Merci d'avance.

Réponses

  • Melchior_nl
    Melchior_nl
    Bonsoir,

    Une comparaison série/intégrale en partant de la somme initiale permet de s'en sortir il me semble.
  • jandri
    jandri
    On peut aussi comparer à $b_n(c) = \displaystyle\sum_{k = 1}^n \frac{1}{ c k \log n }$ qui a pour limite $\dfrac1c$.
    $b_n(c)-a_n(c)$ est un $O\Big(\dfrac1{(\log n)^2}\Big)$.
  • Melchior
    Melchior
    Puisque Jandri a vendu la mèche, je tache de mettre en oeuvre ce que je suggérais. De
    \[
    \int_{k}^{k+1} \frac{1}{1+c x \ln n} dx \leq \frac{1}{1+c k \ln n} \leq \int_{k-1}^{k} \frac{1}{1+c x \ln n} dx,
    \]
    on déduit que
    \[
    \int_{1}^{n+1} \frac{1}{1+c x \ln n} dx \leq a_n(c) \leq \int_{0}^n \frac{1}{1+c x \ln n} dx
    \]
    et un changement de variable donne :
    \[
    \frac{1}{c \ln n}\int_{c \ln n}^{c(n+1)\ln n} \frac{1}{1+u} dx \leq a_n(c) \leq \frac{1}{c \ln n}\int_{0}^{c n \ln n} \frac{1}{1+u} du
    \]
    et chacune de ces quantités tend vers $\frac{1}{c}$.
  • Amaury_H
    Amaury_H
    Bonjour,

    merci à tous pour ces réponses. Je pensais que $ a_n(c) $ tendait vers 0 par la forme intégrale, mais je me suis rendu compte que l'intégrale de la fonction limite ne converge pas (d'où l'erreur). Du coup, le problème intéressant est l'équivalent de $ a_n(c) - 1/c $, mais Jandri a partiellement répondu avec son $ O(1/(\log n)^2) $, que je pense pouvoir améliorer en un équivalent.

    Merci encore,

    A.
  • discret
    discret
    Encore une fois le calcul direct...

    La fonction $t \longmapsto \dfrac{1}{1+ct \ln n}$ étant continue, positive et décroissante sur $[1,n]$, il vient pour $n$ grand
    $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+ck \ln n} = \int_1^n \frac{\textrm{d}t}{1+ct \ln n} + O \left( \frac{1}{c \ln n} \right) = \frac{1}{c} + O \left( \frac{1}{c \ln n} \right) .$$
  • Siméon
    Siméon
    @Amaury_H : l'équivalent n'est pas dans le $O(1/(\ln n)^2)$, il est dans le $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{ck \ln n}$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion