Principe du maximum

Bonjour,

j'aimerais résoudre l'exercice qui suit, j'en ai déjà vu un corrigé dans le même genre mais je ne comprends pas tout.

Soit $f$ holomorphe au voisinage de $\overline{D(0,1)}$, $$|f(e^{i\theta})|\leq e^{2|\theta |}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\pi \leq \theta < \pi.$$
Montrer que $|f(0)|\leq e^{\pi}$.

Voici ce que j'ai fait et ce qui me pose problème:

Posons $g:z \mapsto f(z)f(-z)$. Alors $g$ est holomorphe au voisinage de $\overline{D(0,1)}$ puisque $f$ l'est.
$\forall \xi \in [-\pi ,\pi [$, on a $|g(e^{i\xi})|=|f(e^{i\xi}).f(-e^{i\xi})|=|f(e^{i\xi})|.|f(-e^{i\xi})|$.

$\bullet$ Soit $\xi \in [-\pi ,0[$.
Alors $|g(e^{i\xi})|=|f(e^{i\xi})|.|f(e^{i(\xi + \pi)})|$ et comme $\forall \theta \in [-\pi ,\pi[, \ |f(e^{i\theta})|\leq e^{2|\theta |}$ on a:
$|g(e^{i\xi})|\leq e^{2|\xi |}.e^{2|\xi + \pi |}=e^{-2\xi }.e^{2(\xi + \pi )}=e^{2\pi}$

$\bullet$ Considérons maintenant $\xi \in [0, \pi [$.
Alors $|g(e^{i\xi})|=|f(e^{i\xi})|.|f(e^{i(\xi - \pi)})|$ et comme $\forall \theta \in [-\pi ,\pi[, \ |f(e^{i\theta})|\leq e^{2|\theta |}$ on a:
$|g(e^{i\xi})|\leq e^{2|\xi |}.e^{2|\xi - \pi |}=e^{2\xi }.e^{-2(\xi - \pi )}=e^{2\pi}$

$\bullet$ D'après les deux points précédents on déduit que $\forall \xi \in [-\pi ,\pi[, \ |g(e^{i\xi})|\leq e^{2\pi}$.



Premièrement j'aurais voulu savoir si ce que j'ai fait jusque là est correct et deuxièmement j'ai vu dans l'exercice similaire qu'il fallait utiliser maintenant le principe du maximum pour conclure mais je ne vois pas pourquoi. Auriez-vous une piste ?
Voici comment est énoncé le principe du maximum dans mon cours:
Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert connexe $U$ de $\mathbb{C}$. Si $|f|$ admet un maximum sur $U$, alors $f$ est constante sur $U$.

Merci d'avance pour votre aide !