Calculer la dimension d'une variété

Bonjour à tous, voici la question (sans préliminaires c'est posé tel quel) :

Soit l'idéal $I=(Y-X^2,XZ-Y^2) \subset \mathbb{C}[X,Y,Z]$

Décrire $V(I)$ : dimension, composantes irréductibles ; dimensions et degrés des composantes irréductibles, bases de Gröbner réduites (pour l'ordre lexicograpique) des idéaux composantes.

Il y a une indication : on peut projeter sur le plan $Y=0$ de coordonnées $(X,Z)$ et/ou sur la droite $Y=Z=0$ de coordonnées $X$.


J'ai eu des cours théoriques sur les variétés algébriques mais en pratique ce genre de choses je ne sais pas faire. C'est posé comme ça, sans question préalable. Je ne sais pas comment commencer.

Réponses

  • Tu peux commencer par écrire bêtement la définition de $V(I)$ et voir à quoi ressemble l'ensemble de points, puis essayer de trouver les composantes irréductibles à la main.

    On a $V(I)=\{(x,y,z)\mid y=x^2, xz=y^2\}=\{(x,y,z)\mid y=x^2, x(z-x^3)=0\}$.

    Tu vois bien que la deuxième équation va déjà te permettre d'écrire $V(I)$ comme union de deux fermés. Il restera à voir si ces fermés sont irréductibles ou pas.

    Ou alors, tu peux essayer de travaille dans l'algèbre associée $K[X,Y,Z]/I$. Tu dois certainement avoir des techniques/théorèmes pour les calculs de dimension (degré de transcendance, localisation etc etc ).

    Quand on ne sait pas par où commencer, on revient aux définitions, ou on essaye d'appliquer les théorèmes à disposition.
  • Oui la technique que j'utilise c'est regarder le degré de transcendence de $ \mathbb{C}[X,Y,Z]/I$ mais justement à part les cas évidents type $I=(X-Y)$ je sais pas comment traiter le cas général pour trouver une base de transcendance...
  • As-tu commencé par faire ce que je t'ai suggéré au début ?
  • Alors $(Z-X^3)$ est irréductible (c'est assez clair pour des questions de degré) ; on va pouvoir écrire que $V(I) = A \cup B$ avec $A$ l'intersection de $Y=X^2$ et $X=0$ et $B$ l'intersection de $Y=X^2$ et $Z=X^3$ ; du coup $A=(X=Y=0)$ (la droite des $Z$ quoi) et $B$ je sais pas trop ce que c'est mais ça doit être de dimension un vu que c'est "engendré par $X$".


    Pour la dimension de $V(I)$ voilà ce que j'ai envie d'écrire : $ \mathbb{C}[X,Y,Z]/(Y-X^2,XZ-Y^2) \sim \mathbb{C}[X,Z]/(XZ-X^4)$ (on supprime la variable $Y=X^2$ dans l'anneau quotient) et $\mathbb{C}[X,Z]/(XZ-X^4)$ m'a l'air d'être de dimension 2 parce qu'il reste deux "vraies" variables mais je sais pas comment exrprimer ça rigoureusement. De toute façon c'est en contradiction avec ce que j'ai écrit au-dessus :(


    Pas taper s'il vous plaît j'ai jamais fait de TD dans cette matière !
  • ALors, je suis assez d'accord avec toi sur $V(I)=Oz\cup \{(x,x^2,x^3),x\in \C\}$. ça a l'air d'être la décomposition en fermés irréductibles, à la louche (le deuxième bout est bien fermé, vois-tu pourquoi?).

    En fait, on a $\C[X,Z]/(X(Z-X^3))$ qui n'est pas intègre, donc on ne peut pas parler du corps des fractions de cet anneau. Et il n'y a pas deux variables qui restent mais une puisqu'il y a une relation polynomiale entre $X$ et $Z$ dans cet anneau. C'est bien aussi de dimension $1$, pas de contradiction :-)

    Bref, tout ça pour dire que la décomposition est bien celle au-dessus, et que la dimension est $1$.

    D'ailleurs l'anneau des coordonnées de la deuxième composante est bien isomorphe à $\C[T]$.
  • Le deuxième bout c'est juste les zéros de l'idéal $(Y-X^2, Z-X^3)$ donc c'est fermé, ou y a un piège ?

    Pour l'isomorphisme entre $K[X]$ et l'anneau de coordonnées du deuxième morceau il suffit de dire que j'envoie $(X,Y,Z)$ sur $(X,X^2,X^3)$ et c'est gagné ?


    Mais finalement comment on fait pour trouver la dimension de $V(I)$ si l'anneau quotient n'est pas intègre, je ne suis pas sûr d'avoir compris ? Et comment on explique ça proprement, j'ai l'impression de bidouiller là, on peut pas juste dire "les variables disparaissent, il reste $n$ variables donc paf dimension $n$" c'est un peu léger non ?
  • Pas de piège. Ok, pour l'iso. Faut quand même vérifier que c'est bien la décomposition en irréductibles.

    Par définition, la dimension c'est le sup des dimensions des composantes irréductibles (dans mes lointains souvenirs).

    Une fois que tu as les composantes, tu trouves les anneaux de coordonnées de chaque bout, tu vérifies qu'ils sont intègres, et tu calcules leurs dimension.

    Ou alors, tu identifies à iso près chaque bout à une variété dont tu connais la dimension. Ici, chaque bout est isomorphe à $A^1$, qui est de dimension $1$.
  • Ok, ça va déjà beaucoup mieux, merci infiniment !
  • Ah si voilà un cas simple qui m'embête : c'est quoi la dimension de $X^2-Y^3$ par exemple ?
  • Même s'il y a un point singulier, c'est une hypersurface, non ?
  • On voit aisément que l'anneau de coordonnées est isomorphe à $\C[T^2,T^3]$, qui est intègre. On vérifie que le corps des fractions est isomorphe à $\C(T)$, donc c'est de dimension $1$.
  • Pour calculer une dimension, on peut aussi calculer la dimension de l'espace tangent en un point lisse. Je te laisse voir ce que ça donne dans les deux cas que tu as mentionné dans ce fil.
  • L'isomorphisme entre $K[X,Y]/(X^2-Y^3)$ et $K[T^2,T^3]$ il me paraît clair mais on le montre comment ? Je veux montrer que le noyau du morphisme qui envoie $(X,Y)$ sur $(T^3,T^2)$ c'est $(X^2-Y^3)$, y a une inclusion évidente mais l'autre je vois pas :(

    Edit : ah il suffit d'écrire formellement un polynôme en 2 variables et ça vient apparemment.
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