Inégalité fonctionnelle

RomainB · February 2015

Bonsoir tout le monde,

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0,1]$. Montrer que
$$\int_0^1 f^3(x) dx \ge 4 \left(\int_0^1 x^2 f(x) dx\right)\left(\int_0^1 x f^2(x)dx\right)$$

J'essaie de résoudre l’inégalité suivante en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz mais je n'arrive pas à voir l'astuce.

Merci à vous et bonne soirée.

Melchior_nl · February 2015

Comment pourrait-on utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz de manière à majorer
\[
\int_0^1 x f^2(x)dx
\]
par une constante $\times \int_0^1 f^3(x)dx$ par exemple ?

zephir · February 2015

Bonsoir,

Essayer de vérifier l'inégalité pour $f(x)=x^a$, avec $a\in \R_+$ !

Siméon · February 2015

C'est un job pour Hölder ça !

RomainB · February 2015

Pour $f(x)=x^\alpha$ avec $\alpha\in\mathbb{R}^{+}$, l’inégalité est équivalente à $(\alpha-1)^2\ge 0$ ce qui évidemment vrai.

Siméon · February 2015

@RomainB : je pense que la remarque de zephir s'adressait à Melchior.

Sinon, au risque de me répéter, l'inégalité de Hölder donne$$
\int_0^1 x^2 f(x)dx \leq \left(\int_0^1 x^3 dx\right)^{2/3}\left(\int_0^1 f(x)^3 dx\right)^{1/3}
$$ et $$
\int_0^1 x f(x)^2dx \leq \left(\int_0^1 x^3 dx\right)^{1/3}\left(\int_0^1 f(x)^3 dx\right)^{2/3}.
$$

Inégalité fonctionnelle

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