Champs de Killing sur $S^2$

Bonsoir,

D'accord ; je vais essayer de détailler un peu mon problème. Sur une variété riemannienne munie d'une métrique $g$, $X$ est un champ de Killing si pour tout champ $Y,Z$ de l'espace tangent :
\begin{equation}
g(\nabla_{Y}X,Z)+g(Y,\nabla_Z X)=0
\end{equation}
où $\nabla$ est la connexion de Levi-Civita. D'après ce que j'en comprend, c'est équivalent à demander que le flôt de l'équation différentielle associée $\varphi'(t)=X(\varphi(t))$ soit une isométrie.

Dans mon cas, je regarde juste trois champs sur $\mathbb{S}^2$ : les $K_{i,j}$. Ce sont des champs de Killing : par exemple si je regarde $K_{1,2}=x_1 \partial_2-x_2\partial_1$, le flôt associé est simplement une rotation d'axe $x_3$ qui est bien une isométrie de $\mathbb{S}^2$.
Maintenant je cherche les fonctions $h \colon \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}^3$ vérifiant :
\begin{equation*}
\langle K_{i,j}(h)(x), K_{i,j}(x) \rangle =0 \quad \text{pour } 1 \leq i < j\leq 3
\end{equation*}
Il existe de telles fonctions : si je prends $h$ constant,
\begin{equation}
K_{i,j}(h)(x)=
\begin{pmatrix}
x_i \partial_j h_1-x_i \partial_j h_1 \\
x_i \partial_j h_2-x_i \partial_j h_2 \\
x_i \partial_j h_3-x_i \partial_j h_3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
et mon équation est vérifiée. Il y a d'autres solutions prendre : $h(x)=(-x_2,x_1,0)$, $h(x)=(-x_3,0,x_1)$ ou $h(x)=(0,-x_3,x_2)$ et leurs combinaisons linéaires.

Ma question est : sont-ce les seules ?

Bonsoir,

Désolé si la formulation n'est pas claire : ça signifie pour tout $i,j$. Ici, il y a donc trois équations à vérifier.

Mon cher Mauricio
Bien sûr je connaissais la définition des champs de vecteurs de Killing mais je voulais que Melchior nous l'explique clairement lui-même.
Comme toi, j'avais remarqué que son énoncé n'était pas formulé de façon invariante!
Amicalement
Pappus

Je ne vois pas le rapport entre la fonction h de l'énoncé et le champ de vecteurs sur la sphère dans la reformulation de Mauricio.

Le fibré tangent de la sphère est de dimension 2 tandis que h est à valeurs dans R^3.

Je suis bien d'accord que ton énoncé est plus satisfaisant car intrinsèque. Reste à savoir si c'était bien ce que l'auteur de la question avait en tête.

Cher Pappus,
Ca ressemble beaucoup mais dans Frobenius, il faut que les champs de vecteur définissent un système involutif
$$[X_i,X_j]=\sum c_{ij}^k X_k $$
(Frobenius: Un système involutif de vecteurs indépendants en chaque point est intégrable.)
Mais c'est toujours autour de l'idée d'intégrale première.

M.

Je dis que tu ferais peut-être mieux de poser
$\alpha=h_1dx_1+\dots+h_3dx_3$
et de restreindre la 1-forme à la sphère. Il faut toujours chercher à écrire des choses qui ont un sens un vecteur tangent doit avoir un produit scalaire avec un vecteur tangent, etc.
M.

Voici une formulation intrinsèque du problème initial (ce qui ne signifie pas que je sache y répondre).

Soit $M$ la sphère unité de $\R^3$. Soit $\nabla$ la connexion de Levi-Civita sur $M$. Soit $X$ un champ de vecteurs et $f$ une fonction sur $M$ tels que pour tout champ de Killing $K$ on a
$$\langle \nabla_K X,K\rangle = ||K||^2 f.$$

Est-il vrai que

1) $f$ est nécessairement de la forme $x\mapsto ax_1+bx_2+cx_ 3$

2) Si $f=0$ alors $X$ est un champ de Killing

?

@JLT: moins intrinsèque que la mienne en un sens puisque tu utilises la métrique alors (qu'il me semble) qu'elle est inutile. Ta dérivée covariante n'est que la dérivée de Lie du produit scalaire qui est le produit intérieur de la 1-forme par le champ de vecteur. En tout cas, ça confirme ce que j'avais écrit.
M.

En fait, on a l'égalité $\langle \nabla_Y X,Y\rangle = ||Y||^2 f$ pour tout champ de vecteurs $Y$. Pour le voir, il suffit de montrer que cette égalité est vraie en tout point d'un ensemble dense de la sphère.

L'ensemble $D$ des points $x$ tels que $K_{12}(x),K_{13}(x),K_{23}(x)$ sont deux à deux linéairement indépendants est dense dans la sphère. Soit $x\in D$. On considère la forme quadratique
$$q(Y)=\langle \nabla_Y X,Y\rangle (x)-||Y||^2 f(x)$$
définie sur $T_xM$.

Si elle est de signature $(2,0)$ ou $(0,2)$ alors son cône isotrope est réduit à l'origine.

Si elle est de signature $(1,0)$ ou $(0,1)$, alors son cône isotrope est une droite.

Si elle est de signature $(1,1)$ alors son cône isotrope est la réunion de deux droites sécantes en l'origine.

Or, le cône isotrope de $q$ contient trois points qui sont deux à deux non colinéaires, donc aucune des éventualités ci-dessus n'est possible.

On en conclut que $q$ est nulle.

N.B. je sais montrer que si f=0 ( i.e. h n'a pas de composante radiale) alors X est un champ de Killing mais je ne sais pas si dans le cas général f est nécessairement linéaire.

P.S. Voici cette démonstration.

Quitte à ajouter un champ de Killing, on peut supposer que $X$ s'annule au pôle Nord $N$, et que au point $P$ de latitude 0 et longitude 0, $X$ est dirigé vers un pôle.

Pour toute géodésique $\gamma$, on a $\langle X(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle$ est constant, donc en prenant comme géodésique le méridien de Greenwich, on obtient que $X$ s'annule en $P$.

Soit $Q$ un point non situé sur le grand cercle passant par $N$ et $P$. Le produit scalaire de $X(Q)$ avec les tangentes en $Q$ aux géodésiques $NQ$ et $PQ$ est nul. Or, ces deux tangentes ne sont pas colinéaires, donc $X(Q)=0$. Par densité, $X$ est identiquement nul.

@JLT: Je pensais pouvoir faire un truc plus simple mais ça ne marche pas:-S

C'est quand même plus simple comme ça! Comme quoi on peut toujours formuler de façon compliquée les choses simples. C'est peut-être l'espace vectoriel engendré par les champs de Killing plus le champ d'Euler
$$x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z $$
ou bien plus gros? (JLT nous dira).
M.

Je préfère ma réponse, elle est plus simple, plus précise et se généralise plus facilement. Il me semblait que tu n'avais donné que des champs de Killing et qu'il te manquait le champ d'Euler.
M.